Туннелирование через дельтообразный потенциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Задача о туннелировании через дельтообразный барьер — это стандартная модельная задача квантовой механики. Задача состоит в решении одномерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака.

Решение[править | править исходный текст]

Стационарное одномерное уравнение Шрёдингера для волновой функции \psi(x) записывается в виде

\hat{H}\psi(x)= \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x) \right ] \psi(x)=E\psi(x),

где \hat{H}гамильтониан, \hbarпостоянная Планка, mмасса, E — энергия частицы и V(x)=\frac{\lambda}{m}\delta(x) — дельтообразный потенциальный барьер с \lambda >0.

Барьер делит пространство на две части (x<0, x>0). В обеих этих областях решение уравнения Шрёдингера представляет собой плоские волны и может быть записано в виде их суперпозиции:

\psi_L(x)= A_r e^{i k x} + A_l e^{-ikx},\quad x<0,
\psi_R(x)= B_r e^{i k x} + B_l e^{-ikx},\quad x>0,

где k=\sqrt{2m E}/\hbarволновой вектор. Индексы r и l при коэффициентах A и B указывают на направление волнового вектора вправо и влево. Эти коэффициенты могут быть найдены из условия непрерывности волновой функции \psi_L(0)=\psi_R(0) и условия непрерывности плотности потока вероятности при x=0:

 -\frac{\hbar^2}{2 m} \int_{-\epsilon}^{+\epsilon} \psi''(x) \,dx + \int_{-\epsilon}^{+\epsilon} V(x)\psi(x) \,dx = E \int_{-\epsilon}^{+\epsilon} \psi(x) \,dx, \quad \epsilon \rightarrow 0,
 -\frac{\hbar^2}{2 m} \left( \psi_R'(0) - \psi_L'(0)\ \right) + \frac{\lambda}{m} \psi(0) = 0,
\frac{d\psi_L}{dx}(0) = \frac{d\psi_R}{dx}(0) - \frac{2\lambda}{\hbar^2} \psi_R(0).

Эти условия дают следующие уравнения связи для коэффициентов A и B:

A_r+A_l=B_r+B_l,
ik(A_r-A_l-B_r+B_l)=-\dfrac{2\lambda}{\hbar^2} \left( B_r+B_l \right).

Коэффициенты прохождения и отражения[править | править исходный текст]

В классическом случае частица с конечной энергией E>0 не может преодолеть бесконечный потенциальный барьер. При квантовом подходе, однако, возможно туннелирование. Пусть падающая частица приближается к барьеру слева (A_r=1 и B_l =0), тогда коэффициенты A_l=r и B_r=t, определяющие вероятность отражения и прохождения соответственно, имеют вид:

t=\frac{1}{\frac{i\lambda}{\hbar^2k}+1},
r=\frac{1}{\frac{i\hbar^2 k}{\lambda}-1}.

Неожиданным результатом с классической точки зрения является то, что имеется ненулевая вероятность прохождения (коэффициент прохождения) для бесконечно высокого барьера:

T=|t|^2=\frac{1}{1+\frac{\lambda^2}{\hbar^4k^2}}= \frac{1}{1+\frac{\lambda^2}{2m\hbar^2 E}},
R=|r|^2=1-T=\frac{1}{1+\frac{\hbar^4k^2}{\lambda^2}}= \frac{1}{1+\frac{2m\hbar^2 E}{\lambda^2}}.

Литература[править | править исходный текст]

  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5