Углы Эйлера

Углы Эйлера.

Углы Эйлера — углы, описывающие поворот абсолютно твердого тела в трёхмерном евклидовом пространстве.

В сравнении с углами Эйлера, кватернионы позволяют проще комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси, независимо от совершённого вращения по другим осям (см. Кватернионы и вращение пространства).

Определение

Углы Эйлера определяют три поворота системы, которые позволяют привести любое положение системы к текущему. Обозначим начальную систему координат как $(x, y, z)$, конечную как $(X, Y, Z)$. Пересечение координатных плоскостей $xy$ и $XY$ называется линией узлов $N$.

• Угол $\alpha$ между осью $x$ и линией узлов.
• Угол $\beta$ между осями $z$ и $Z$.
• Угол $\gamma$ между осью $X$ и линией узлов.

Повороты системы на эти углы называются прецессия, нутация и поворот на собственный угол (вращение). Такие повороты некоммутативны и конечное положение системы зависит от порядка, в котором совершаются повороты. В случае углов Эйлера это последовательность 3,1,3 (Z,X,Z), т.е. производится сначала поворот на угол $\alpha$ вокруг оси $z$, потом поворот на угол $\beta$ вокруг оси $N$, и последним поворот на угол $\gamma$ вокруг оси $Z$.

Интересные факты

Полукружные каналы во внутреннем ухе являются природным измерителем углового ускорения и частью вестибулярного аппарата человека. Схожесть с принципом углов Эйлера состоит в том, что три полукружных канала расположены перпендикулярно друг другу и заполнены жидкостью. Угловое ускорение по трём осям улавливается ворсинками, расположенными в куполе канала, когда жидкость, желая сохранить минимум потенциальной энергии, проходит через них.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• Крен, тангаж и рыскание — угловые движения летательного аппарата или другого транспортного средства
• Алгоритм нормализованного 3D поворота
• Шесть степеней свободы

Литература

• Берёзкин Е. Н. Курс теоретической механики — 2-е изд., пер. — М.: Изд-во МГУ. 1974. — 641 с.
• Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики — 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. С. 23.