Угол

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Угол
Размерность

нет

Единицы измерения
СИ

Радиан

Другие единицы

градус, минута, секунда, град, тысячная

У́гол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла)[1].

Общие сведения[править | править исходный текст]

Два луча (BA и ВС), выходящие из общей вершины B, образуют на плоскости две области, являющиеся внутренними областями двух плоских углов.

Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области. Каждая из этих областей, объединённая со сторонами угла, называется плоским углом (или просто углом, если это не вызывает разночтений). Один из плоских углов (обычно меньший из двух) иногда условно называют внутренним, а другой — внешним. Точки плоского угла, не принадлежащие его сторонам, образуют внутреннюю область плоского угла.

В другом, эквивалентном варианте определения плоским углом называется часть плоскости, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую лежащую в этой плоскости линию (которая называется линией, стягивающей данный плоский угол).

Часто для краткости углом называют также угловую меру, то есть число, определяющее величину угла.

Кроме наиболее часто встречающихся плоских углов, в качестве углов могут рассматриваться и более общие объекты — фигуры, образованные пересекающимися дугами, полуплоскостями и другими фигурами как в евклидовой, так и в других типах геометрии в метрических пространствах различной размерности.

Обозначение углов[править | править исходный текст]

«∠», обозначение угла в геометрии.
Isosceles-triangle-tikz.svg

Для обозначения угла имеется общепринятый символ: \angle , предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

В математических выражениях углы часто обозначают строчными греческими буквами: α, β, γ, θ, φ и др. Чтобы избежать путаницы с числом пи, символ π, как правило, для этой цели не используется. Для обозначения телесных углов (см. ниже) часто применяют буквы ω и Ω.

Также часто угол обозначают тремя точками, например \angle ABC. В такой записи B — вершина, а A и C — точки, лежащие на разных сторонах угла.

Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например, \angle(bc).

Так, для рисунка справа записи γ, \angle ACB и \angle(ab) означают один и тот же угол.

Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, …) и цифры.

На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.

Угловая мера[править | править исходный текст]

Угловая мера, позволяющая сравнивать углы, может быть введена следующим образом. Два плоских угла называются равными (или конгруэнтными), если они могут быть совмещены так, что совпадут их вершины и обе стороны. От любого луча на плоскости в данную сторону можно отложить единственный угол, равный данному. Если один угол может быть размещён полностью внутри другого угла таким образом, что вершина и одна из сторон этих углов совпадают, то первый угол меньше второго. Назовём прилежащими два угла, расположенные так, что сторона одного совпадает со стороной другого (а значит, совпадают и вершины), но их внутренние области не пересекаются. Угол, составленный из несовпадающих сторон двух прилежащих углов, назовём сложенным из этих углов. Каждому углу можно поставить в соответствие число (угловую меру) таким образом, что:

  • равным углам соответствует равная угловая мера;
  • меньшему углу соответствует меньшая угловая мера;
  • у угла, стороны которого совпадают (нулевого угла), угловая мера равна нулю;
  • угловая мера угла, сложенного из двух прилежащих углов, равна сумме угловых мер этих углов.

В некоторых системах обозначений, если есть необходимость различать угол и его меру, для угла (геометрической фигуры) используют обозначение \angle ABC , а для величины этого угла — обозначение \widehat{ ABC}.

Мера угла θ в радианах равна отношению длины стягивающей его дуги s к её радиусу r.

Угол измеряют:

  • в градусной мере (градус, минута, секунда),
  • в оборотах — отношение длины s стягивающей его дуги (то есть полностью находящейся внутри угла дуги, чьи концы лежат на сторонах угла, а центр кривизны совпадает с вершиной угла) к длине L окружности, содержащей эту дугу,
  • в радианах — отношение длины s стягивающей дуги к её радиусу r;
  • исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

Измерение углов в градусной мере восходит к Древнему Вавилону, где использовалась шестидесятеричная система счисления. Поскольку количество дней в солнечном годе близко к 360, Солнце за сутки смещается по эклиптике в среднем примерно на один градус. Кроме того, угловой диаметр Солнца (и Луны) на земном небе близок к ½ градуса. Хотя эти совпадения лишь приблизительны, вавилонские астрономы разделили окружность на 360 «шагов», поскольку это число удобно для расчётов.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам.

В системе СИ основной единицей измерения угла является радиан.

В морской терминологии углы измеряются в румбах. 1 румб равен 132 от полной окружности (360 градусов), то есть 11,25 градуса.

В астрономии угол прямого восхождения и часовой угол в экваториальной системе координат измеряются в часах, минутах и секундах (составляющих соответственно 124, 11440 и 186 400 полной окружности); это связано с угловой скоростью осевого вращения Земли, составляющей приблизительно 1 оборот за 24 часа[2]. Таким образом, за один час (минуту, секунду) времени небесная сфера «поворачивается» примерно на 1 час (минуту, секунду) в угловой мере. Остальные угловые величины в астрономии выражаются обычно в градусах, минутах и секундах дуги. Следует отметить во избежание путаницы, что одна секунда (минута) прямого восхождения равна 15 секундам (минутам) дуги.

В артиллерии и оружейном деле используются также тысячные и деления угломера.

В некоторых контекстах, таких как идентификация точки в полярных координатах или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно его базовой ориентации, углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, фактически являются эквивалентными. Например, в таких случаях можно считать эквивалентными углы 15° и 360015° (= 15° + 360°×1000). В других контекстах, таких как идентификация точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно его начальной ориентации, углы, отличающиеся на ненулевое целое число полных оборотов, не эквивалентны.

Некоторые плоские углы имеют специальные названия. Кроме вышеназванных единиц измерения (радиан, румб, градус и т. п.), к ним относятся:

  • Квадрант (прямой угол, 14 окружности)
  • Секстант (16 окружности)
  • Октант (18 окружности; кроме того, в стереометрии октантом называется трёхгранный угол, образованный тремя взаимно перпендикулярными плоскостями)
Обозначение угла уклона дороги на дорожном знаке.

Малые углы (например, угол уклона поверхности) иногда измеряют не собственно угловой мерой, а её тангенсом (или синусом), то есть отношением подъёма по наклонной плоскости к проекции на горизонталь пройденного по ней пути (или к самому этому пути). Для обычного случая малых углов уклона это отношение примерно равно углу, выраженному в радианах (tg α ≈ sin α ≈ α при α << 1). При этом отношение выражается обычно в процентах или промилле. Например, уклон дороги в 10 % означает, что на каждые 100 метров пути (в проекции на горизонталь) дорога поднимается на 10 м; угол к горизонту равен arctg(10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 радиана.

Направление отсчёта углов[править | править исходный текст]

В математике и физике угол на плоскости обычно отсчитывается против часовой стрелки. В качестве начала отсчёта углов (в полярной и цилиндрической системах координат, на тригонометрической окружности и т. д.) принято направление оси абсцисс. В сферической системе координат азимутальный угол отсчитывается, как и на плоскости, от оси абсцисс против часовой стрелки.

В географии в качестве начала отсчёта углов по азимуту принято направление на север; угол отсчитывается по часовой стрелке. Таким образом, направлению на восток соответствует азимутальный угол 90°, на юг — 180°, на запад — 270°.

Углы на тригонометрической окружности[править | править исходный текст]

Типы плоских углов[править | править исходный текст]

Разновидности углов
Дополнительные углы a и b (взаимно дополняют друг друга до прямого угла). Оба дополнительных угла являются острыми.
Смежные углы — острый (a) и тупой (b) — образуют развёрнутый угол (c).
Вертикальные углы. Две пары углов (A и B, C и D) попарно равны.
Невыпуклый угол.
Прямой угол.
Полный угол.
  • Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.
  • Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Их основное свойство: вертикальные углы равны.
  • Прилежащие углы — два угла, имеющие общую вершину и одну из сторон, но не пересекающиеся внутренними областями.
  • Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, заключённой между сторонами этого угла.
  • Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, ограниченной его сторонами. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

В зависимости от величины углы называются следующим образом:

  • Нулевой угол (0°). Стороны нулевого угла совпадают, его внутренняя область — пустое множество.
  • Острый угол (от 0° до 90°, не включая граничные значения).
  • Прямой угол (90°). Стороны прямого угла перпендикулярны друг другу.
  • Тупой угол (от 90° до 180°, не включая граничные значения).
  • Косой угол (любой, не равный 0°, 90°, 180° или 270°).
  • Развёрнутый угол (180°). Стороны развёрнутого угла антипараллельны и образуют прямую.
  • Выпуклый угол (от 0° до 180° включительно).
  • Невыпуклый угол (от 180° до 360°, не включая граничные значения).
  • Полный угол (360°) — см. оборот (единица измерения).

Некоторые свойства плоских углов[править | править исходный текст]

Плоские углы с (анти)параллельными сторонами[править | править исходный текст]

Углы с параллельными сторонами.

Углы, стороны которых попарно параллельны и сонаправлены (или попарно параллельны и противоположно направлены), равны друг другу. Пара углов, у которых одна пара сторон параллельна и сонаправлена друг другу, а вторая пара сторон параллельна и противоположно направлена, составляют смежные углы, то есть их сумма равна 180° (см. рисунок).

Биссектриса[править | править исходный текст]

Биссектрисой (от лат. bi- «двойное» и sectio «разрезание») угла называется луч, выходящий из вершины угла и проходящий через его внутреннюю область, который образует с его сторонами два равных угла. Расстояние любой точки биссектрисы от сторон угла одинаково (и, обратно, любая точка внутренней области угла, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе).

Углы многоугольника[править | править исходный текст]

Сумма внутренних углов αi произвольного n-угольника без самопересечений равна \sum_{i=1}^n \alpha_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} . Так, сумма внутренних углов треугольника равна 180°, четырёхугольника 360°, пятиугольника 540° и т. д. Назовём внешним углом βi угол, дополняющий внутренний угол αi до полного угла: βi = 360° − αi. Сумма внешних углов произвольного n-угольника без самопересечений равна \sum_{i=1}^n \beta_i = n\cdot 360^{\circ} - \sum_{i=1}^n \alpha_i = (n+2)\cdot 180^{\circ} .

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Величиной ориентированного угла между прямыми AB и CD (обозначение: \angle(AB,CD)) называют величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB так, чтобы она стала параллельна прямой CD. При этом углы, отличающиеся на n·180° (n — целое число), считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD и AB не равен ориентированному углу между прямыми AB и CD (они составляют в сумме 180° или, что по нашему соглашению то же самое, 0°). Ориентированные углы обладают следующими свойствами: а) \angle(AB,BC)=-\angle(BC,AB); б) \angle(AB,CD)+\angle(CD,EF)=\angle(AB,EF); в) точки A,B,C,D, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда \angle(AB,BC)=\angle(AD,DC).

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла, расширив его область определения на всю числовую прямую (-\infty ; +\infty): вводятся углы, большие 360°, в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается на рассматриваемый в стереометрии телесный угол.

Телесный угол[править | править исходный текст]

Обобщением плоского угла на стереометрию является телесный угол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол).

Телесные углы измеряются в стерадианах (одна из основных единиц СИ), а также во внесистемных единицах — в частях полной сферы (то есть полного телесного угла, составляющего 4π стерадиан), в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах.

Телесными углами являются, в частности, следующие геометрические тела:

  • двугранный угол — часть пространства, ограниченная двумя пересекающимися плоскостями.
  • трёхгранный угол — часть пространства, ограниченная тремя пересекающимися плоскостями.
  • многогранный угол — часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, пересекающимися в одной точке.

Двугранный угол может характеризоваться как линейным углом (углом между образующими его плоскостями), так и телесным углом (в качестве вершины может быть выбрана любая точка на его ребре — прямой пересечения его граней). Если линейный угол двугранного угла (в радианах) равен φ, то его телесный угол (в стерадианах) равен 2φ.

Угол между кривыми[править | править исходный текст]

Угол между двумя кривыми в точке Р определяется как угол между касательными А и В в P.

Как в планиметрии, так и в стереометрии, а также в ряде других геометрий можно определить угол между гладкими кривыми в точке пересечения: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым в точке пересечения.

Угол и скалярное произведение[править | править исходный текст]

Понятие угла можно определить для линейных пространств произвольной природы (и произвольной, в том числе бесконечной размерности), на которых аксиоматически введено положительно определённое скалярное произведение (x,y) между двумя элементами пространства x и y. Скалярное произведение позволяет определить также и так называемую норму (длину) элемента как квадратный корень произведения элемента на себя ||x||=\sqrt{(x,x)}. Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши — Буняковского (Коши — Шварца) для скалярного произведения: |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot||y||, откуда следует, что величина \frac {(x,y)} {||x||\cdot ||y||} принимает значения от −1 до 1, причем крайние значения достигаются тогда и только тогда, когда элементы пропорциональны (коллинеарны) друг другу (говоря геометрически — их направления совпадают или противоположны). Это позволяет интерпретировать отношение \frac {(x,y)} {||x||\cdot ||y||} как косинус угла между элементами x и y. В частности, элементы называют ортогональными, если скалярное произведение (или косинус угла) равно нулю.

В частности, можно ввести понятие угла между непрерывными на некотором интервале [a,b] функциями, если ввести стандартное скалярное произведение (f,g) =\int^b_a f(x) g(x) dx, тогда нормы функций определяются как ||f||^2=\int^b_a f^2(x)dx. Тогда косинус угла определяется стандартным образом как отношение скалярного произведения функций к их нормам. Функции также можно назвать ортогональными, если их скалярное произведение (интеграл их произведения) равно нулю.

В римановой геометрии можно аналогично определить угол между касательными векторами с помощью метрического тензора g_{ij}. Скалярное произведение касательных векторов u и v в тензорной записи будет иметь вид: (u,v)=g_{ij}u^iv^j, соответственно нормы векторов — ||u||=\sqrt{|g_{ij}u^iu^j|} и ||v||=\sqrt{|g_{ij}v^iv^j|}. Поэтому косинус угла будет определяться по стандартной формуле отношения указанного скалярного произведения к нормам векторов: \cos \theta = \frac {(u,v)} {||u||\cdot ||v||} = \frac {g_{ij}u^iv^j} { \sqrt{|g_{ij}u^iu^j|\cdot |g_{ij}v^iv^j|} }.

Угол в метрическом пространстве[править | править исходный текст]

Также существует ряд работ, в которых вводится понятие угла между элементами метрического пространства.

Пусть (X,\rho) - метрическое пространство. Пусть далее, x,y,z - элементы этого пространства.

К. Менгер ввёл понятие угла между вершинами y и z с вершиной в точке x как неотрицательное число \widehat{yxz}, которое удовлетворяет трём аксиомам:

  • \widehat{yxz}=\widehat{zxy}
  • \widehat{yxz}=0 тогда и только тогда, когда \rho(y,z)=|\rho(x,y)-\rho(x,z)|
  • \widehat{yxz}=\pi тогда и только тогда, когда \rho(y,z)=\rho(x,y)+\rho(x,z)

В 1932 году Вильсон рассмотрел в качестве угла следующее выражение:

\widehat{yxz}_w = \arccos \frac{\rho^2(x,y)+\rho^2(x,z)-\rho^2(y,z)}{2\rho(x,y)\rho(x,z)}

Нетрудно видеть, что введённое выражение всегда имеет смысл и удовлетворяет трём аксиомам Менгера.

Кроме того, угол Вильсона обладает тем свойством, что в евклидовом пространстве он эквивалентен углу между элементами y-x и z-x в смысле евклидова пространства.

Измерение углов[править | править исходный текст]

Одним из самых распространённых инструментов для построения и измерения углов является транспортир; как правило, он используется для построения угла определённой величины. Для более или менее точного измерения углов разработано много инструментов:

  • Угломер
  • Гониометр — прибор для лабораторного измерения углов.
  • Теодолит — применяется для измерения вертикальных и горизонтальных углов в геодезии.
  • Секстант — применяется для измерения высоты Солнца и других светил над горизонтом с целью определения географической широты и долготы той местности, в которой производится измерение.
  • Посох Якова — один из первых инструментов для астрономических наблюдений, служащий для измерения углов.
  • Ватерпас и уровень — для измерения малых углов отклонения поверхности от горизонтали.

Угловым расстоянием (или просто углом) между двумя объектами для наблюдателя называется мера угла, в вершине которого находится наблюдатель, а объекты лежат на сторонах. Для грубой оценки углов между двумя удалёнными предметами можно использовать кисть руки. На расстоянии вытянутой руки угловому расстоянию в 1 градус соответствует ширина мизинца, углу в 10 градусов — ширина сжатого кулака, расположенного горизонтально, углу в 20 градусов — расстояние между кончиками разведённых большого и указательного пальца (пядь).

Различные методы и устройства для измерения углов характеризуются угловым разрешением, то есть минимальным углом, который может быть измерен с помощью данного метода. Наилучшим угловым разрешением обладают различные интерферометрические методы, позволяющие измерить в некоторых случаях углы в несколько микросекунд дуги (~10−11 радиана).

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Угол // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
  2. В действительности истинный период обращения Земли относительно неподвижных звёзд примерно на 4 минуты короче, чем 24 часа, см. Звёздное время.