Ударная адиабата

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уда́рная адиабата, или адиаба́та Гюгонио́, адиабата Рáнкина-Гюгонио́ — математическое соотношение, связывающее термодинамические величины до ударной волны и после. Названо в честь шотландского физика Уильяма Джона Рaнкина и французского Пьера-Анри Гюгонио, которые независимо получили это соотношение (опубликовано соответственно в 1870 и 1887-1889 годах[1]).(Ударная адиабата - геометрическое место точек конечных состояний за фронтом ударной волны при заданных начальных условиях). Рассмотрим законы сохранения на ударной волне

\rho_1u_1=\rho_2u_2=j,
p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2,
h_1+\frac{1}{2}u_{1}^2=h_2+\frac{1}{2}u_{2}^2.

Здесь ρ – плотность газа, u – скорость газа относительно ударной волны, h – удельная энтальпия газа, j - поток массы через разрыв, индексами «1» и «2» обозначены состояния до и после ударной волны. Выразим скорость в последнем равенстве через поток массы u=j/\rho, получим уравнение:

h_2-h_1+\frac{j^2}{2}\left(\frac{1}{\rho_2^2}-\frac{1}{\rho_1^2}\right)=0.

Исключая из него j с помощью равенства, известного под названием прямая или луч Рэлея — Михельсона (название связано с тем, что это уравнение задаёт прямую линию на плоскости (p;1/\rho)):

j^2=-\frac{p_2-p_1}{\frac{1}{\rho_2}-\frac{1}{\rho_1}},

— приходим к соотношению Рaнкина-Гюгонио:

h_2-h_1-\frac{\left(p_2-p_1\right)}{2}\left(\frac{1}{\rho_1}+\frac{1}{\rho_2}\right)=0.

Если выразить энтальпию через внутреннюю энергию, соотношение Ранкина-Гюгонио переходит в

\varepsilon_2-\varepsilon_1 + p_2\frac{1}{\rho_2} - p_1\frac{1}{\rho_1}
-\frac{\left(p_2-p_1\right)}{2}\left(\frac{1}{\rho_1}+\frac{1}{\rho_2}\right)=0.
\varepsilon_2-\varepsilon_1
-\frac{\left(p_2+p_1\right)}{2}\left(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}\right)=0.

Переход газа через ударную волну является необратимым процессом (внутри ударной волны, являющейся узкой переходной зоной, существенны, в частности, вязкость и теплопроводность), поэтому на ударной волне удельная энтропия увеличивается (для слабых ударных волн в совершенном газе рост энтропии пропорционален кубу относительного роста давления (p_2-p_1)/p_1).

Ударную адиабату не следует путать с адиабатой Пуассона, описывающей процесс с постоянной энтропией.

Литература[править | править вики-текст]

Крайко А.Н. Краткий курс теоретической газовой динамики. — М.: МФТИ, 2007. — С. 300. — ISBN 978-5-7417-0229-1.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Некоторые обзорные работы и первоисточники по истории уравнений гидромеханики