Ультраметрическое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
В ультраметрическом пространстве у треугольника не бывает самой длинной стороны: либо равны все три, либо одна короче, а остальные две — равны

Ультраметрическое пространство — особый случай метрического пространства, в котором метрика удовлетворяет усиленному неравенству треугольника:

d(x,z) \leqslant \max( d(x,y), d(y,z) )

Такую метрику называют ультраметрикой. Проще говоря, в ультраметрическом пространстве нельзя получить большее расстояние, складывая меньшие, то есть не соблюдается «принцип Архимеда».

Определение[править | править исходный текст]

Ультраметрическое пространство — это пара (M,d), где M — множество, а d\colon M\times M \to \mathbb R — вещественнозначная функция на нём, также называемая метрикой, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. d(x,y) \geqslant 0, d(x,y) = 0 \iff x=y (положительная определённость)
  2. d(x,y) = d(y,x) (симметричность)
  3. d(x,z) \leqslant \max( d(x,y), d(y,z) ) (сильное неравенство треугольника)

Ультраметрическое пространство отличается от метрического тем, что неравенство треугольника заменено на усиленное неравенство треугольника.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Всякий треугольник является равнобедренным, причём если не все его стороны равны, то одна — короче, чем две других.
  • Всякая точка шара является его центром.
  • Если два шара имеют общую точку, то либо они совпадают, либо один целиком содержит другой.
  • Топология ультраметрического пространства является вполне разрывной.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Дискретная метрика (то есть расстояние между двумя точками равно 0, если они совпадают, и 1 если не совпадают) является ультраметрикой.
  • Метрика на 1,2,\dots,n,\dots такая, что d(n,m)=d_n при n<m, и d_1\geqslant d_2\geqslant ...d_n\geqslant...\geqslant 0.
  • Множество слов произвольной длины некоторого алфавита \Sigma с ультраметрикой, заданной как d(a,b) = 2^{-n}, где n — номер первого символа, различного в словах a и b.
  • p-адические числа образуют ультраметрическое пространство с естественной ультраметрикой.
  • Модели, наделённые естественной ультраметрикой, возникают в теории информации при исследовании последовательностей символов и в физике твёрдого тела при изучении спиновых стёкол.