Ультрафильтр

Ультрафильтр на решётке $F$ — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.

Определение

Собственный фильтр $F$ на решётке $L$ является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном фильтре.

Набор $F$ подмножеств множества $X$ называется ультрафильтром на $X$, если

• $\varnothing\notin F$
• для любых двух элементов $F$, их пересечение также лежит в $F$
• для любого элемента $F$, все его надмножества лежат в $F$
• для любого подмножества $Y \subseteq X$ либо $Y \in F$, либо $X \backslash Y \in F$

Иначе говоря, если рассмотреть функцию на множествах $S\subset X$, заданную как $\omega_F(S)=1\,$, если $S\in F$, и $\omega_F(S)=0\,$ в противном случае, то $\omega_F\,$ является конечно-аддитивной вероятностной мерой на $X$.

Ультрафильтры в булевых алгебрах

Если решётка $L$ является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр $F$ является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента $x \in L$ либо $x \in F$, либо $-x \in F$

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

Примеры

• любой главный фильтр является ультрафильтром
• подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории $T$, состоящее из теорем $T$

Свойства

• ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
• любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
• если $F$ — главный ультрафильтр на множестве $X$, то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
• если $F$ — неглавный ультрафильтр на множестве $X$, то пересечение всех его элементов пусто.

Каждый фильтр содержится в ультрафильтре

Утверждение о том, что каждый фильтр содержится в ультрафильтре не может быть доказано без использования аксиомы выбора. Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.

Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.

Приложения

• Ультрафильтры используются в ряде конструкций теории моделей, а именно для формулировки понятия ультрапроизведения.
• Ультрафильтры также фигурируют в формулировке теоремы Стоуна и в явном построении компактификации Стоуна — Чеха.
• Ультрапредел для метрических пространств — обобщение сходимости по Громову — Хаусдорфу