Ультрафильтр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Ультрафильтр на решётке F — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.

Содержание

[править] Определение

Собственный фильтр F на решётке L является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном фильтре.

Набор F подмножеств множества X называется ультрафильтром на X, если

  • \varnothing\notin F
  • для любых двух элементов F, их пересечение также лежит в F
  • для любого элемента F, все его надмножества лежат в F
  • для любого подмножества Y \subseteq X либо Y \in F, либо X \backslash Y \in F

Иначе говоря, если рассмотреть функцию на множествах S\subset X, ωF(S) = 1 если S\in F и в противном случае ωF(S) = 0, то ωF образует конечно-аддитивную вероятностную меру на X.

[править] Ультрафильтры в булевых алгебрах

Если решётка L является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр F является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента x \in L либо x \in F, либо -x \in F

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

[править] Примеры

[править] Свойства

  • ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
  • любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит коконечный фильтр.
  • если F главный ультрафильтр на множестве X, то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
  • если F неглавный ультрафильтр на множестве X, то пересечение всех его элементов пусто.

[править] Каждый фильтр содержится в ультрафильтре

Утверждение о том, что каждый фильтр содержится в ультрафильтре не может быть доказано без использования аксиомы выбора. Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.

Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.

[править] Приложения

[править] Топология

[править] Нестандартный анализ

На других языках