Ультрафильтр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ультрафильтр на решётке F — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.

Содержание 1 Определение 2 Ультрафильтры в булевых алгебрах 3 Примеры 4 Свойства 5 Каждый фильтр содержится в ультрафильтре 6 Приложения 6.1 Топология 6.2 Нестандартный анализ

[править] Определение

Собственный фильтр F на решётке L является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном фильтре.

Набор F подмножеств множества X называется ультрафильтром на X, если

• 
• для любых двух элементов F, их пересечение также лежит в F
• для любого элемента F, все его надмножества лежат в F
• для любого подмножества либо , либо

Иначе говоря, если рассмотреть функцию на множествах , ω_F(S) = 1 если и в противном случае ω_F(S) = 0, то ω_F образует конечно-аддитивную вероятностную меру на X.

[править] Ультрафильтры в булевых алгебрах

Если решётка L является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр F является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента либо , либо

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

[править] Примеры

• любой главный фильтр является ультрафильтром
• подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории T, состоящее из теорем T

[править] Свойства

• ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
• любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит коконечный фильтр.
• если F главный ультрафильтр на множестве X, то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
• если F неглавный ультрафильтр на множестве X, то пересечение всех его элементов пусто.

[править] Каждый фильтр содержится в ультрафильтре

Утверждение о том, что каждый фильтр содержится в ультрафильтре не может быть доказано без использования аксиомы выбора. Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.

Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.

[править] Приложения

• Ультрафильтры используются в ряде конструкций теории моделей, а именно для формулировки понятия ультрапроизведения.
• Ультрафильтры также фигурируют в формулировке теоремы Стоуна и в явном построении компактификации Стоуна — Чеха.
• Ультрапредел для метрических пространств — обобщение сходимости по Громову — Хаусдорфу

[править] Топология

[править] Нестандартный анализ

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.