Универсальная обёртывающая алгебра

Универсальная обёртывающая алгебра — ассоциативная алгебра, которая может быть построена для любой алгебры Ли, перенимающая многие важные свойства исходной алгебры, что позволяет применить более широкие средства для изучения исходной алгебры.

Построение

Ассоциативная алгебра $A$ над полем $K$ обладает естественной структурой алгебры Ли над $K$ со следующей скобкой Ли: $[a,b] = ab - ba$, то есть, из ассоциативного произведения можно построить скобку Ли с помощью простого взятия коммутатора. Обозначим эту алгебру Ли $A_L$.

Построение универсальной обёртывающей алгебры пытается обратить этот процесс: для данной алгебры Ли $\mathfrak{g}$ над $K$ находят «наиболее общую» ассоциативную $K$-алгебру $U(\mathfrak{g})$ такую, что алгебра Ли $U_L$ содержит $\mathfrak{g}$. Важное ограничение — сохранение теории представлений: представления $\mathfrak{g}$ соотносятся точь-в-точь так же как и модули над $U(\mathfrak{g})$. В типичном контексте, где $\mathfrak{g}$ задаётся инфинитезимальными преобразованиями, элементы $U(\mathfrak{g})$ действуют как дифференциальные операторы всех порядков.

Мотивация

Важная тема в изучении алгебр и вероятно основной путь их появления в приложениях это представление алгебры Ли. Представление $\rho$ ставит каждому элементу x алгебры Ли линейный оператор $\rho(x)$. Данное пространство линейных операторов не только алгебра Ли, но также и ассоциативная алгебра, так что возможно рассматривать произведения $\rho(x)\rho(y)$. Суть введения универсальной обёртывающей алгебры в изучении таких произведений в различных представлениях алгебры Ли. Сразу видится одно препятствие в наивной попытке сделать это: свойства произведений коренным образом зависят от выбранного представления, а не только от самой алгебры Ли. Например, для одного представления можно получить $\rho(x)\rho(y)=0$, в то время как в другом представлении это произведение может быть не нулевым. Тем не менее определённые свойства универсальны для всех представлений, то есть сохраняют справедливость для всех представлений одновременно. Универсальная обёртывающая алгебра — это способ охватить все такие свойства и только их.

Универсальное свойство

Пусть $\mathfrak{g}$ — произвольная алгебра Ли над полем $K$. При заданных ассоциативной алгебре $U$ с единицей и гомоморфизме алгебр Ли

$h\colon \mathfrak{g} \to U_L,$

будем говорить, что $U$ является универсальной обёртывающей алгеброй алгебры Ли $\mathfrak{g}$, если она удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любой ассоциативной алгебры $A$ с единицей и гомоморфизма алгебр Ли

$f\colon \mathfrak{g} \to A_L$

существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр с единицей

$g\colon U \to A$

такой, что

$f = gh.$

Это универсальное свойство также можно понимать так: функтор, отображающий $\mathfrak{g}$ в её универсальную обёртывающую алгебру, сопряжён слева к функтору, отображающему ассоциативную алгебру $A$ в соответствующую алгебру Ли $A_L$.

Прямое построение

Из этого универсального свойства, можно доказать, что если алгебра Ли имеет универсальную обёртывающую алгебру, то эта обёртывающая алгебра единственным образом определяется алгеброй $\mathfrak{g}$ (с точностью до изоморфизма). С помощью следующей конструкции, которая напрашивается из общих соображений (например, как часть пары сопряжённых функторов), устанавливается, что на самом деле любая алгебра Ли обязательно имеет универсальную обёртывающую алгебру.

Начиная с тензорной алгебры $T(\mathfrak{g})$ на векторном пространстве алгебры $\mathfrak{g}$, мы получаем $U(\mathfrak{g})$ факторизацией $T(\mathfrak{g})$ посредством соотношений:

$a \otimes b - b \otimes a = [a,b]$

для любых $a$ и $b$ в $\mathfrak{g}$, где скобки в правой части выражения обозначают коммутатор в $\mathfrak{g}$.

Формально мы определили

$U(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g})/I$

где $I$ — двусторонний идеал $T(\mathfrak{g})$, порождённый элементами вида

$a\otimes b - b \otimes a - [a,b], \quad a,b \in \mathfrak{g}.$

Естественное отображение $\mathfrak{g} \to T(\mathfrak{g})$ сводится к отображению $h\colon \mathfrak{g} \to U_L$, и именно этот гомоморфизм алгебр Ли используется в вышепривёденном универсальном свойстве.

Описанная конструкция почти дословно проходит на случай супералгебр Ли.

Частные примеры

Если $\mathfrak{g}$ абелева (то есть, коммутатор всегда 0), то $U(\mathfrak{g})$ — коммутативна; если выбран базис векторного пространства $\mathfrak{g}$, то $U(\mathfrak{g})$ может рассматриваться как алгебра многочленов над $K$, с одной переменной для каждого базисного элемента.

Если $\mathfrak{g}$ — алгебра Ли группы Ли $G$, $U(\mathfrak{g})$ может рассматриваться как алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов (всех порядков) на $G$, cодержащая $\mathfrak{g}$ в качестве дифференциальных операторов первого порядка (которые находятся во взаимном соответствии с левоинвариантными векторными полями на $G$).

Центр алгебры $U(\mathfrak{g})$ обозначается через $Z(\mathfrak{g})$ и состоит из дифференциальных операторов, являющихся инвариантными как относительно левого действия группы, так и относительно правого; в случае некоммутативности $G$ центр часто не порождается операторами первого порядка (например, оператор Казимира полупростой алгебры Ли).

Также $U(\mathfrak{g})$ можно охарактеризовать как алгебру обобщённых функций с носителем на единичном элементе $e$ группы $G$ с операцией свёртки.

Алгебра Вейля^[en] дифференциальных операторов от $n$ переменных с полиномиальными коэффициентами может быть получена, начиная с алгебры Ли группы Гейзенберга. Для этого необходимо профакторизовать её так, чтобы центральные элементы данной алгебры Ли действовали как скаляры.

Дальнейшее описание структуры

Фундаментальная теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта даёт точное описание $U(\mathfrak{g})$; наиболее важное следствие из неё - это то, что $\mathfrak{g}$ может рассматриваться как линейное подпространство $U(\mathfrak{g})$. Более точно: каноническое отображение $h\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})$ всегда инъективно. Более того, $U(\mathfrak{g})$ порождается $\mathfrak{g}$ как ассоциативная алгебра с единицей.

$\mathfrak{g}$ действует на себе при помощи присоединённого представления алгебры Ли, и это действие может быть расширено на представление $\mathfrak{g}$ в эндоморфизмы $U(\mathfrak{g})$: $\mathfrak{g}$ действует как алгебра производных на $T(\mathfrak{g})$, и это действие сохраняет наложенные соотношения, поэтому она фактически действует на $U(\mathfrak{g})$. (Это чисто инфинитезимальный способ смотреть на вышеупомянутые инвариантные дифференциальные операторы.)

При таком представлении, элементы $U(\mathfrak{g})$, инвариантные под действием $\mathfrak{g}$ (то есть действие на них любого элемента $\mathfrak{g}$ тривиально), называются инвариантными элементами. Они порождаются инвариантами Казимира.

Как было сказано выше, конструкция универсальных обёртывающих алгебр — это часть пары сопряжённых функторов. $U$ — функтор из категории алгебр Ли над $K$ в категорию ассоциативных $K$-алгебр с единицей. Этот функтор — сопряженный слева к функтору, отображающему алгебру $A$ в алгебру $A_L$. Следует отметить, что конструкция универсальной обёртывающей алгебры не является в точности обратной к формированию $A_L$: если начать с ассоциативной алгебры $A$, то $U(A_L)$ не равна $A$; она значительно больше.

Сведения о теории представлений, упомянутые ранее, могут быть уточнены следующим образом: абелева категория всех представлений $\mathfrak{g}$ изоморфна абелевой категории всех левых модулей $U(\mathfrak{g})$.

Построение групповой алгебры заданной группы во многом аналогична построению универсальной обёртывающей алгебры для заданной алгебры Ли. Оба построения универсальны и переносят теорию представлений в теорию модулей. Более того, как групповые алгебры, так и универсальные обёртывающие алгебры имеют естественную структуру коумножения, которые превращают их в алгебры Хопфа.

Ссылки

• Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6
• Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. — М.:Мир, 1969.
• Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления — 2-е изд., доп. — М.:МЦНМО, 2007. — 552 с. ISBN 978-5-94057-302-9