Универсальная обёртывающая алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Универсальная обёртывающая алгебра — ассоциативная алгебра, которая может быть построена для любой алгебры Ли, перенимающая многие важные свойства исходной алгебры, что позволяет применить более широкие средства для изучения исходной алгебры.

Построение[править | править исходный текст]

Ассоциативная алгебра A над полем K обладает естественной структурой алгебры Ли над K со следующей скобкой Ли: [a,b] = ab - ba, то есть, из ассоциативного произведения можно построить скобку Ли с помощью простого взятия коммутатора. Обозначим эту алгебру Ли A_L.

Построение универсальной обёртывающей алгебры пытается обратить этот процесс: для данной алгебры Ли \mathfrak{g} над K находят «наиболее общую» ассоциативную K-алгебру U(\mathfrak{g}) такую, что алгебра Ли U_L содержит \mathfrak{g}. Важное ограничение — сохранение теории представлений: представления \mathfrak{g} соотносятся точь-в-точь так же как и модули над U(\mathfrak{g}). В типичном контексте, где \mathfrak{g} задаётся инфинитезимальными преобразованиями, элементы U(\mathfrak{g}) действуют как дифференциальные операторы всех порядков.

Мотивация[править | править исходный текст]

Важная тема в изучении алгебр и вероятно основной путь их появления в приложениях это представление алгебры Ли. Представление \rho ставит каждому элементу x алгебры Ли линейный оператор \rho(x) . Данное пространство линейных операторов не только алгебра Ли, но также и ассоциативная алгебра, так что возможно рассматривать произведения \rho(x)\rho(y) . Суть введения универсальной обёртывающей алгебры в изучении таких произведений в различных представлениях алгебры Ли. Сразу видится одно препятствие в наивной попытке сделать это: свойства произведений коренным образом зависят от выбранного представления, а не только от самой алгебры Ли. Например, для одного представления можно получить \rho(x)\rho(y)=0 , в то время как в другом представлении это произведение может быть не нулевым. Тем не менее определённые свойства универсальны для всех представлений, то есть сохраняют справедливость для всех представлений одновременно. Универсальная обёртывающая алгебра — это способ охватить все такие свойства и только их.

Универсальное свойство[править | править исходный текст]

Пусть \mathfrak{g} — произвольная алгебра Ли над полем K. При заданных ассоциативной алгебре U с единицей и гомоморфизме алгебр Ли

 h\colon \mathfrak{g} \to U_L,

будем говорить, что U является универсальной обёртывающей алгеброй алгебры Ли \mathfrak{g}, если она удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любой ассоциативной алгебры A с единицей и гомоморфизма алгебр Ли

 f\colon \mathfrak{g} \to A_L

существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр с единицей

 g\colon U \to A

такой, что

f = gh.

Это универсальное свойство также можно понимать так: функтор, отображающий \mathfrak{g} в её универсальную обёртывающую алгебру, сопряжён слева к функтору, отображающему ассоциативную алгебру A в соответствующую алгебру Ли A_L.

Прямое построение[править | править исходный текст]

Из этого универсального свойства, можно доказать, что если алгебра Ли имеет универсальную обёртывающую алгебру, то эта обёртывающая алгебра единственным образом определяется алгеброй \mathfrak{g} (с точностью до изоморфизма). С помощью следующей конструкции, которая напрашивается из общих соображений (например, как часть пары сопряжённых функторов), устанавливается, что на самом деле любая алгебра Ли обязательно имеет универсальную обёртывающую алгебру.

Начиная с тензорной алгебры T(\mathfrak{g}) на векторном пространстве алгебры \mathfrak{g}, мы получаем U(\mathfrak{g}) факторизацией T(\mathfrak{g}) посредством соотношений:

 a \otimes b - b \otimes a = [a,b]

для любых a и b в \mathfrak{g}, где скобки в правой части выражения обозначают коммутатор в \mathfrak{g}.

Формально мы определили

U(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g})/I

где I — двусторонний идеал T(\mathfrak{g}), порождённый элементами вида

 a\otimes b - b \otimes a - [a,b], \quad a,b \in \mathfrak{g}.

Естественное отображение \mathfrak{g} \to T(\mathfrak{g}) сводится к отображению h\colon \mathfrak{g} \to U_L, и именно этот гомоморфизм алгебр Ли используется в вышепривёденном универсальном свойстве.

Описанная конструкция почти дословно проходит на случай супералгебр Ли.

Частные примеры[править | править исходный текст]

Если \mathfrak{g} абелева (то есть, коммутатор всегда 0), то U(\mathfrak{g}) — коммутативна; если выбран базис векторного пространства \mathfrak{g}, то U(\mathfrak{g}) может рассматриваться как алгебра многочленов над K, с одной переменной для каждого базисного элемента.

Если \mathfrak{g} — алгебра Ли группы Ли G, U(\mathfrak{g}) может рассматриваться как алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов (всех порядков) на G, содержащая \mathfrak{g} в качестве дифференциальных операторов первого порядка (которые находятся во взаимном соответствии с левоинвариантными векторными полями на G).

Центр алгебры U(\mathfrak{g}) обозначается через Z(\mathfrak{g}) и состоит из дифференциальных операторов, являющихся инвариантными как относительно левого действия группы, так и относительно правого; в случае некоммутативности G центр часто не порождается операторами первого порядка (например, оператор Казимира полупростой алгебры Ли).

Также U(\mathfrak{g}) можно охарактеризовать как алгебру обобщённых функций с носителем на единичном элементе e группы G с операцией свёртки.

Алгебра Вейля[en] дифференциальных операторов от n переменных с полиномиальными коэффициентами может быть получена, начиная с алгебры Ли группы Гейзенберга. Для этого необходимо профакторизовать её так, чтобы центральные элементы данной алгебры Ли действовали как скаляры.

Дальнейшее описание структуры[править | править исходный текст]

Фундаментальная теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта даёт точное описание U(\mathfrak{g}); наиболее важное следствие из неё - это то, что \mathfrak{g} может рассматриваться как линейное подпространство U(\mathfrak{g}). Более точно: каноническое отображение h\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g}) всегда инъективно. Более того, U(\mathfrak{g}) порождается \mathfrak{g} как ассоциативная алгебра с единицей.

\mathfrak{g} действует на себе при помощи присоединённого представления алгебры Ли, и это действие может быть расширено на представление \mathfrak{g} в эндоморфизмы U(\mathfrak{g}): \mathfrak{g} действует как алгебра производных на T(\mathfrak{g}), и это действие сохраняет наложенные соотношения, поэтому она фактически действует на U(\mathfrak{g}). (Это чисто инфинитезимальный способ смотреть на вышеупомянутые инвариантные дифференциальные операторы.)

При таком представлении, элементы U(\mathfrak{g}), инвариантные под действием \mathfrak{g} (то есть действие на них любого элемента \mathfrak{g} тривиально), называются инвариантными элементами. Они порождаются инвариантами Казимира.

Как было сказано выше, конструкция универсальных обёртывающих алгебр — это часть пары сопряжённых функторов. U — функтор из категории алгебр Ли над K в категорию ассоциативных K-алгебр с единицей. Этот функтор — сопряженный слева к функтору, отображающему алгебру A в алгебру A_L. Следует отметить, что конструкция универсальной обёртывающей алгебры не является в точности обратной к формированию A_L: если начать с ассоциативной алгебры A, то U(A_L) не равна A; она значительно больше.

Сведения о теории представлений, упомянутые ранее, могут быть уточнены следующим образом: абелева категория всех представлений \mathfrak{g} изоморфна абелевой категории всех левых модулей U(\mathfrak{g}).

Построение групповой алгебры заданной группы во многом аналогична построению универсальной обёртывающей алгебры для заданной алгебры Ли. Оба построения универсальны и переносят теорию представлений в теорию модулей. Более того, как групповые алгебры, так и универсальные обёртывающие алгебры имеют естественную структуру коумножения, которые превращают их в алгебры Хопфа.

Литература[править | править исходный текст]