Универсальное свойство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Во многих областях математики полезную конструкцию часто можно рассматривать как «наиболее эффективное решение» определенной проблемы. Определение универсального свойства использует язык теории категорий, чтобы сделать это определение точным и изучать его теоретическими методами.

В этой статье даётся общее описание универсального свойства. Чтобы лучше понять эту концепцию, будет полезно сначала изучить несколько примеров, которых существует довольно много: прямое произведение и копроизведение, свободная группа, группа Гротендика, компактификация Стоуна — Чеха, тензорное произведение, прямой предел и обратный предел, ядро и коядро, декартов квадрат и кодекартов квадрат, уравнитель и коуравнитель.

Мотивировка[править | править вики-текст]

Прежде чем давать формальное определение, предложим некоторую мотивировку для изучения подобных конструкций.

  • Конкретное описание некоторой конструкции может быть длинным и беспорядочным, но если конструкция удовлетворяет универсальному свойству, можно смело забыть о деталях её описания; всё, что нужно для вывода её свойств, уже содержится в универсальном свойстве. Доказательства часто становятся более короткими и элегантными, если в них используется универсальное свойство, а не конкретные детали. Например, тензорную алгебру векторного пространства приходится строить в несколько шагов, тогда как с её универсальным свойством обращаться гораздо проще.
  • Универсального свойства достаточно, чтобы определить объект с точностью до изоморфизма.[1] Таким образом, появляется ещё один способ доказать, что два объекта изоморфны, а именно доказать, что они обладают одинаковым универсальным свойством.
  • Универсальные свойства появляются всюду в математике. Изучив их абстрактные свойства, можно получить информацию обо всех подобных конструкциях и избежать повторения одного и того же анализа в каждом конкретном случае.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Пусть U: DC — функтор из категории D в категорию C, а X — объект категории C. Рассмотрим следующие двойственные определения:

Начальная (отталкивающая) стрелка из X в U — это начальный объект в категории морфизмов из X в U. Другими словами, это пара (A, φ), где A — это объект категории D и φ: XU(A) — это морфизм в категории C, такой что следующее начальное свойство выполняется:

  • Для любого Y — объекта категории D и f: XU(Y) — морфизма в категории C, существует единственный морфизм g: AY такой, что следующая диаграмма коммутативна:
An initial morphism from X to U

Терминальная (притягивающая) стрелка из U в X — это терминальный объект в категории морфизмов из U в X. Другими словами, это пара (A, φ), где A — объект категории D и φ: U(A) → X — морфизм в категории C, такой что следующее терминальное свойство выполняется:

  • Для любого Y — объекта категории D и f: U(Y) → X — морфизма категории C, существует единственный морфизм g: YA, такой что следующая диаграмма коммутативна:
A terminal morphism from U to X

Термин универсальная стрелка означает «начальная либо терминальная стрелка», термин универсальное свойство означает «начальное либо терминальное свойство». В обоих определениях существование морфизма g интуитивно выражает тот факт, что (A, φ) «достаточно общее», тогда как его единственность гарантирует, что (A, φ) «не чрезмерно общее».

Примеры[править | править вики-текст]

Здесь будет приведено несколько примеров, подчеркивающих общую идею. Читатель сможет сконструировать множество других примеров, прочитав статьи, цитировавшиеся во введении.

Тензорные алгебры[править | править вики-текст]

Пусть C — категория векторных пространств над полем K и D — категория ассоциативных алгебр над K. Рассмотрим забывающий функтор

U : K-AlgK-Vect

сопоставляющий каждой алгебре лежащее в её основе векторное пространство.

Теперь по произвольному объекту X из K-Vect — векторному пространству V — можно получить его тензорную алгебру T(V). А именно, она характеризуется универсальным свойством

«Любое линейное отображение из V в K-алгебру A может быть единственным образом продолжено до гомоморфизма алгебр T(V)A

Это утверждение описывает начальное свойство тензорной алгебры, то есть тот факт, что пара (T(V), i), где i : VT(V) — стандартное вложение, является начальной стрелкой из векторного пространства V в функтор U. Мы получили функтор T из K-Vect в K-Alg Это значит, что T является левым сопряженным функтором забывающего функтора U (см. раздел «связь с сопряженнными функторами»).

Произведения[править | править вики-текст]

Произведение в теории категорий можно охарактеризовать его универсальным свойством. А именно: пусть X и Y — объекты категории D, а C — произведение категорий D × D. Определим диагональный функтор

Δ : DD × D

как Δ(X) = (X, X) и Δ(f : XY) = (f, f). Тогда если (A, φ) — терминальная стрелка из Δ в (X, Y) — объект категории D × D, то A — объект категории D, называющийся прямым произведением X × Y, а φ — пара проекций

π1 : X × YX
π2 : X × YY.

Свойства[править | править вики-текст]

Существование и единственность[править | править вики-текст]

Определение некоего свойства не гарантирует существование объекта, ему удовлетворяющего. Если однако, такой (A, φ) существует, то он единственен. Точнее говоря, он единственен с точностью до единственного изоморфизма. Проверим это для случая начальной стрелки: если (A′, φ′) — другая такая пара, то существует единственный изоморфизм k: AA′ такой что φ′ = U(k)φ. Это легко увидеть, заменив (A′, φ′) на (Y, f) из определения начального свойства.

Эквивалентные формулировки[править | править вики-текст]

Определение универсальной стрелки может быть перефразировано множеством способов. Пусть U — функтор из D в C, X — объект категории С. Тогда следующие формулировки эквивалентны:

  • (A, φ) — начальная стрелка из X в U
  • (A, φ) — начальный объект категории запятой (XU)
  • (A, φ) — представление функтора HomC(X, U—),

равно как и двойственные им формулировки.

Связь с сопряженными функторами[править | править вики-текст]

Пусть (A1, φ1) — начальная стрелка из X1 в U и (A2, φ2) — начальная стрелка из X2 в U. По начальному свойству любому морфизму h: X1X2 соответствует единственный морфизм g: A1A2, такой что следующая диаграмма коммутативна:

UniversalProperty-05.png

Если каждый объект Xi категории C допускает начальную стрелку в U, то соответствия X_i \mapsto A_i и h \mapsto g определяют функтор V из C в D. А отображения φi тогда определяют естественное преобразование из 1C (тождественный функтор C) в UV. Функторы (V, U) образуют пару сопряженных функторов, причем V — левый сопряженный U и U — правый сопряженный V. Аналогичные утверждения верны в двойственной ситуации терминальных морфизмов из U, здесь (U, V) будут парой сопряженных функторов, U — левый сопряженный, а V — правый.

В действительности все пары сопряженных функторов получаются из конструкций такого вида. Пусть F: СD и G: DC — пара сопряженнных функторов с единицей η и коединицей ε (см. статью сопряженные функторы). Тогда существуют универсальные морфизмы для каждого объекта категорий C и D:

  • Для каждого объекта X из C, (F(X), ηX) — начальная стрелка из X в G. То есть для всех f: XG(Y) существует единственный g: F(X) → Y, для которого следующие диаграммы коммутируют.
  • Для каждого объекта Y изD, (G(Y), εY) — терминальная стрелка из F в Y. То есть для всех g: F(X) → Y существует единственный f: XG(Y), для которого следующие диаграммы коммутируют.
Universal properties of a pair of adjoint functors

Универсальные конструкции являются более общими, чем конструкции сопряженных функторов: универсальная конструкция похожа на задачу оптимизации, пара сопряжённых функторов появляется, только если эта задача имеет решение для всех объектов категории.

История[править | править вики-текст]

Универсальные свойства многих топологических конструкций были описаны Пьером Самюэлем в 1948 году. Позднее они активно использовались Бурбаки. Тесно связанная с этим концепция сопряженных функторов была независимо предложена Даниэлем Каном в 1958 году.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Jacobson (2009), Proposition 1.6, p. 44.

Литература[править | править вики-текст]

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Paul Cohn, Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland. ISBN 90-277-1213-1.
  • Borceux, F. Handbook of Categorical Algebra: vol 1 Basic category theory (1994) Cambridge University Press, (Encyclopedia of Mathematics and its Applications) ISBN 0-521-44178-1
  • N. Bourbaki, Livre II : Algèbre (1970), Hermann, ISBN 0-201-00639-1.
  • Jacobson. Basic Algebra II. Dover. 2009. ISBN 0-486-47187-X