Уникальное простое

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории чисел Уникальное простое число – это определенный вид простых чисел. Простое число p ≠ 2, 5 называется уникальным, если не существует другого простого q, такое что длина периода обратной величины, 1 / p, равна длине периода 1 / q. Уникальные простые впервые были описаны Самюэлем Йетс (Samuel Yates) в 1980.

Можно показать, что простое p является уникальным с периодом n тогда и только тогда, когда существует натуральное число c, такое что

\frac{\Phi_n(10)}{\gcd(\Phi_n(10),n)} = p^c

где Φn(x) – это n-ый Круговой многочлен. В настоящее время известно более пятидесяти уникальных простых или возможно простых. Однако известно только двадцать три уникальных простых, меньших 10100. Таблица ниже показывает 23 уникальных простых меньших 10100 последовательность A040017 в OEIS и их периоды последовательность A051627 в OEIS:

Длина периода Простое
1 3
2 11
3 37
4 101
10 9,091
12 9,901
9 333,667
14 909,091
24 99,990,001
36 999,999,000,001
48 9,999,999,900,000,001
38 909,090,909,090,909,091
19 1,111,111,111,111,111,111
23 11,111,111,111,111,111,111,111
39 900,900,900,900,990,990,990,991
62 909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
120 100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001
150 10,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001
106 9,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
93 900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991
134 909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
294 142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143
196 999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001

Простое число с периодом 294 похоже на число, обратное 7 (0.142857142857142857...)

Не приведенное в таблице двадцать четвертое уникальное простое число содержит 128 знаков и период длиной 320. Оно может быт записано как (932032)2 + 1, где индекс n означает n последовательных копий цифры или группы цифр, находящихся перед индексом.

Хотя и редко, основываясь на изучении простых, состоящих из одной цифры, и возможно простых, высказывается гипотеза о бесконечном числе уникальных простых (любой простой репьюнит уникален).

На 2010 репьюнит (10270343-1)/9 – наибольшее из известных возможно простых чисел.[1]

В 1996 году наибольшим проверенным уникальным простым было (101132 + 1)/10001, или, используя использованную выше запись, (99990000)141+ 1. Его период равен 2264. Рекорд был с тех пор несколько раз улучшен. К 2010 году наибольшее проверенное уникальное простое число имело 10,081 знаков.[2]

External links[править | править вики-текст]

  1. PRP Records: Probable Primes Top 10000
  2. The Top Twenty Unique; Chris Caldwell