Унитарная алгебра

Алгебра называется унитальной (или унитарной), если в ней существует нейтральный элемент по отношению к умножению (единица), то есть такой элемент $1$, что для всех элементов $x$ алгебры выполняются равенства

$1\cdot x = x\cdot 1 = x$

Это определение эквивалентно тому, что данная алгебра является моноидом по отношению к умножению. Как и в случае любого моноида, нейтральный элемент является единственным.

Многие ассоциативные алгебры, включая алгебры групп, полиномов и матриц, являются унитарными, если этим свойством обладают соответствующие кольца. Большинство функциональных алгебр, рассматриваемых в математическом анализе, напротив, свойством унитарности не обладают. К таковым относится, например, алгебра функций с интегрируемым квадратом и неограниченной областью определения, а также алгебра функций, являющихся бесконечно малыми на бесконечности (особенно функций с компактным носителем в некоторых некомпактных пространствах).

Пусть $A$ и $B$ — унитарные алгебры, тогда гомоморфизм $f: A \to B$ является унитарным, если он отображает нейтральный элемент $A$ в нейтральный элемент $B$.

Литература

• Кевин Маккриммон (McCrimmon, Kevin). A taste of Jordan algebras. Springer, 2004. ISBN 9780387954479