Унитарная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Унита́рная ма́трица — квадратная матрица с комплексными элементами, результат умножения которой на эрмитово сопряжённую равен единичной матрице: U^\dagger U = UU^\dagger = E. Другими словами, матрица унитарна тогда и только тогда, когда существует обратная к ней матрица, удовлетворяющая условию U^{-1}=U^\dagger.

Унитарная матрица, элементы которой вещественны, является ортогональной.

Следующие утверждения относительно данной квадратной матрицы A являются эквивалентными:

  1. A — унитарна.
  2. A^\dagger — унитарна.
  3. Столбцы матрицы A образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве.
  4. Строки матрицы A образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве.

Интерпретация[править | править вики-текст]

Унитарная матрица представляет преобразование, переводящее ортонормированный базис комплексного векторного пространства размерности, соответствующей ее размеру, в ортонормированный базис. (Это верно для любого ортонормированного базиса).

Это эквивалентно утверждению, что преобразование, представляемое унитарной матрицей, сохраняет скалярное произведение.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Всякая унитарная матрица является нормальной.
  • Произведение унитарных матриц также является унитарной матрицей.
  • Для всякой унитарной матрицы U существует такая унитарная матрица V , что V^*UV  — диагональна.
  • Множество всех унитарных матриц порядка n по умножению образует унитарную группу U(n)  — (алгебраическую) группу Ли над полем вещественных чисел.

Если определитель унитарной матрицы A равен единице, её называют специальной унитарной матрицей. Модуль определителя унитарной матрицы всегда равен 1.

Множество всех специальных унитарных матриц порядка n по умножению образуют специальную унитарную группу SU(n). Группы SU(2) и SU(3) играют важную роль при изложении квантовой механики и физики элементарных частиц.

См. также[править | править вики-текст]