Унитарное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с эрмитовым скалярным произведением.

Эрмитовым скалярным произведением в линейном пространстве \mathbb L над полем комплексных чисел называется функция  \langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \C, удовлетворяющая следующим условиям:

  • 1) (линейность скалярного произведения по первому аргументу)
 \forall ~x_1, x_2, y \in \mathbb L и  \forall ~\alpha , \beta \in \C справедливы равенства:
 \langle \alpha x_1+\beta x_2,y \rangle = \alpha \langle x_1,y \rangle + \beta \langle x_2,y \rangle,

(иногда в определении вместо этого берут линейность по второму аргументу, что не принципиально)

  • 2) (эрмитовость скалярного произведения)
 \forall ~x, ~y \in \mathbb L справедливо равенство  \langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle},
  • 3) (положительная определенность скалярного произведения)
 \forall ~x \in \mathbb L~ имеем ~\langle x,x \rangle \ge 0,~ причем \langle x,x \rangle =0 только при  ~x=0 .

Другими словами, скалярным произведением называется положительно определенная полуторалинейная эрмитова функция  \langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \C .

Отметим, что над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией \langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \R .