Упорядоченное поле

Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин впервые предложил Эмиль Артин в 1927 г.

Определение

Пусть $F$ — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение $\leqslant$ (меньше или равно) со следующими свойствами:

1. Рефлексивность: $x \leqslant x$.
2. Транзитивность: если $x \leqslant y$ и $~y \leqslant z$, то $~x \leqslant z$.
3. Антисимметричность: если $x \leqslant y$ и $~y \leqslant x$, то $~x=y$.
4. Линейность: все элементы $F$ сравнимы между собой, то есть либо $~x \leqslant y$, либо $~y \leqslant x$.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:

5. Если $x \leqslant y$, то для любого z: $~x+z \leqslant y+z$.
6. Если $~0 \leqslant x$ и $~0 \leqslant y$, то $0 \leqslant x y$.

Если все 6 аксиом выполнены, то поле $F$ называется упорядоченным.

Связанные определения

• Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: $x \geqslant y$ означает, что $~y \leqslant x$.

Отношение больше: $x > y$ означает, что $x \geqslant y$ и $x \ne y$.

Отношение меньше: $x < y$ означает, что $y>x$.

• Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
• Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину $|x|$ элемента $x$ как $max(x, -x)$.

Конструктивное построение порядка

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества $P$, ноль и $-P$ не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим $P_0 =P \cup \{0\}$ (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:

$x \leqslant y$, если $y-x \in P_0$

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.

Некоторые свойства

• Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если $x$ положителен, то $-x$ отрицателен, и наоборот.
• В любом упорядоченном поле $1>0$ и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
• Однотипные неравенства можно складывать:

Если $x \leqslant y$ и $x' \leqslant y'$, то $~x+x' \leqslant y+y'$.

• Неравенства можно умножать на положительные элементы:

Если $x \leqslant y$ и $c \geqslant 0$, то $~c x \leqslant c y$.

Неединственность порядка

Вообще говоря, поле можно упорядочить разными способами. Пример: рассмотрим поле из чисел вида $~a+b\sqrt{2}$, где $~a,b$ — рациональные числа. Кроме обычного порядка, можно определить для этого поля и такой: включим в «подмножество положительных чисел» $P$ те числа $~a+b\sqrt{2}$, для которых $~a>b\sqrt{2}$. Нетрудно проверить, что условия, приведенные в разделе о конструктивном построении порядка, выполнены.

Место в иерархии алгебраических структур

• Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
• Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю. Поэтому конечное поле не может быть упорядочено.
• Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда $-1$ не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
• Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
• Если в поле не существует элемента больше, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел $\mathbb R$; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей $\mathbb R$.

Примеры

• Рациональные числа
• Вещественные числа
• Вещественные алгебраические числа
• Поле вещественных рациональных функций: $~\frac {p(x)} {q(x)}\,$, где $~p(x), q(x)$ — многочлены, $~q(x) \ne 0$. Упорядочим его следующим образом.
  • Пусть $~p(x)=p_0 x^n + \dots + p_n;\quad q(x) = q_0 x^m + \dots + q_m;.$ Будем считать, что функция $\frac {p(x)} {q(x)} > 0\,$, если $\frac {p_0} {q_0} > 0\,$. Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
  • Из определения вытекает, что многочлен $p(x)=x$ больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Интересно отметить, что это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби) $r(x)$, для которых $r(\pi)>0$.
• Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
• Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле $\mathbb{Q}[\theta]$, порождённое добавлением к полю рациональных чисел $\mathbb{Q}$ числа $~\theta=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ — одного из трёх комплексных корней многочлена $~x^3-2.$. Данное поле изоморфно вещественному полю $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$, поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок.

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
• Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с..