Упорядоченное поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Упорядоченное полеалгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин впервые предложил Эмиль Артин в 1927 г.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть Fалгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение \leqslant (меньше или равно) со следующими свойствами:

  1. Рефлексивность: x \leqslant x.
  2. Транзитивность: если x \leqslant y и ~y \leqslant z, то ~x \leqslant z.
  3. Антисимметричность: если x \leqslant y и ~y \leqslant x, то ~x=y.
  4. Линейность: все элементы F сравнимы между собой, то есть либо ~x \leqslant y, либо ~y \leqslant x.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:

  1. Если x \leqslant y, то для любого z: ~x+z \leqslant y+z.
  2. Если ~0 \leqslant x и ~0 \leqslant y, то 0 \leqslant x y.

Если все 6 аксиом выполнены, то поле F называется упорядоченным.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:
Отношение больше или равно: x \geqslant y означает, что ~y \leqslant x.
Отношение больше: x > y означает, что x \geqslant y и x \ne y.
Отношение меньше: x < y означает, что y>x.
  • Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
  • Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину |x| элемента x как max(x, -x).

Конструктивное построение порядка[править | править вики-текст]

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества P, ноль и -P не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим P_0 =P \cup \{0\} (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:

x \leqslant y, если y-x \in P_0

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.

Некоторые свойства[править | править вики-текст]

  • Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если x положителен, то -x отрицателен, и наоборот.
  • В любом упорядоченном поле 1>0 и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
  • Однотипные неравенства можно складывать:
Если x \leqslant y и x' \leqslant y', то ~x+x' \leqslant y+y'.
  • Неравенства можно умножать на положительные элементы:
Если x \leqslant y и c \geqslant 0, то ~c x \leqslant c y.

Неединственность порядка[править | править вики-текст]

Вообще говоря, поле можно упорядочить разными способами. Пример: рассмотрим поле из чисел вида ~a+b\sqrt{2}, где ~a,b — рациональные числа. Кроме обычного порядка, можно определить для этого поля и такой: включим в «подмножество положительных чисел» P те числа ~a+b\sqrt{2}, для которых ~a>b\sqrt{2}. Нетрудно проверить, что условия, приведенные в разделе о конструктивном построении порядка, выполнены[1].

Место в иерархии алгебраических структур[править | править вики-текст]

  • Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
  • Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю. Поэтому конечное поле не может быть упорядочено.
  • Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда -1 не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
  • Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
  • Если в поле не существует элемента больше, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым[2]. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел \mathbb R; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей \mathbb R.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Рациональные числа
  • Вещественные числа
  • Вещественные алгебраические числа
  • Поле вещественных рациональных функций: ~\frac {p(x)} {q(x)}\,, где ~p(x), q(x)многочлены, ~q(x) \ne 0. Упорядочим его следующим образом.
    • Пусть ~p(x)=p_0 x^n + \dots + p_n;\quad q(x) = q_0 x^m + \dots + q_m;. Будем считать, что функция \frac {p(x)} {q(x)} > 0\,, если \frac {p_0} {q_0} > 0\,. Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
    • Из определения вытекает, что многочлен p(x)=x больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Интересно отметить, что это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби) r(x), для которых[3] r(\pi)>0.
  • Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
  • Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле \mathbb{Q}[\theta], порождённое добавлением к полю рациональных чисел \mathbb{Q} числа ~\theta=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2} — одного из трёх комплексных корней многочлена ~x^3-2.. Данное поле изоморфно вещественному полю \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}], поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок[3]

Примеры неупорядочиваемых полей[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
  • Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
  • Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с..

Примечания[править | править вики-текст]