Управляемость (теория управления)

Управляемость — одно из важнейших свойств системы управления и объекта управления (машины, живого организма, общества и т.п.), описывающее возможность перевести систему из одного состояния в другое. Исследование системы управления на управляемость является одним из важных шагов в синтезе управляющих контроллеров.

Определение

Состояние $x(t_1) \!$ линейной системы управляемо, если существует такой вход $u(t) \!$, который переводил бы начальное состояние $x_0(t_1) \!$ в конечное состояние $x_k(t_2) = 0 \!$ (начало координат) за конечный интервал времени $(t_2 - t_1) \!$.

Система называется полностью управляемой, если все компоненты её вектора состояний управляемы.

Критерий управляемости

Для линейных систем существует критерий управляемости в пространстве состояний.

Пусть существует система порядка $n \!$ (с $n \!$ компонентами вектора состояния), $p\!$ входами и $q\!$ выходами, записанная в виде:

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)$

где

$x(t) \in \mathbb{R}^n$; $y(t) \in \mathbb{R}^q$; $u(t) \in \mathbb{R}^p$;

$\operatorname{dim}[A(\cdot)] = n \times n$, $\operatorname{dim}[B(\cdot)] = n \times p$, $\operatorname{dim}[C(\cdot)] = q \times n$, $\operatorname{dim}[D(\cdot)] = q \times p$, $\dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}$.

здесь $x(\cdot)$ — «вектор состояния», $y(\cdot)$ — «вектор выхода», $u(\cdot)$ — «вектор входа», $A(\cdot)$ — «матрица системы», $B(\cdot)$ — «матрица входа», $C(\cdot)$ — «матрица управления», $D(\cdot)$ — «сквозная матрица».

Для неё можно составить матрицу управляемости:

$\begin{bmatrix} B \ AB \ A^2B \ \dots \ A^{n-1}B \end{bmatrix}$

Согласно критерию управляемости если ранг матрицы управляемости равен $n\!$, система является полностью управляемой.

См. также

• Наблюдаемость