Управляемость (теория управления)

Управляемость — одно из важнейших свойств системы управления и объекта управления (машины, живого организма, общества и т. п.), описывающее возможность перевести систему из одного состояния в другое. Исследование системы управления на управляемость является одним из важных шагов в синтезе управляющих контроллеров.

Определение

Состояние $x(t_{1})$ линейной системы управляемо, если существует такой вход $u(t)$, который переводил бы начальное состояние $x_{0}(t_{1})$ в конечное состояние $x_{k}(t_{2})$ за конечный интервал времени $(t_{2}-t_{1})$.

Система называется полностью управляемой, если все компоненты её вектора состояний управляемы.

Критерий управляемости (критерий Калмана)

Для линейных систем существует критерий управляемости в пространстве состояний.

Пусть существует система порядка $n$ (с $n$ компонентами вектора состояния), $p$ входами и $q$ выходами, записанная в виде:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)$

где

$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$; $y(t)\in \mathbb {R} ^{q}$; $u(t)\in \mathbb {R} ^{p}$;

$\operatorname {dim} [A]=n\times n$, $\operatorname {dim} [B]=n\times p$, $\operatorname {dim} [C]=q\times n$, $\operatorname {dim} [D]=q\times p$, ${\dot {\mathbf {x} }}(t):={d\mathbf {x} (t) \over dt}$.

здесь $x(\cdot )$ — «вектор состояния», $y(\cdot )$ — «вектор выхода», $u(\cdot )$ — «вектор входа», $A$ — «матрица системы», $B$ — «матрица управления», $C$ — «матрица выхода», $D$ — «сквозная матрица».

Для неё можно составить матрицу управляемости:

${\begin{bmatrix}B\ AB\ A^{2}B\ \dots \ A^{n-1}B\end{bmatrix}}$

Согласно критерию управляемости если ранг матрицы управляемости равен $n$, система является полностью управляемой.

Литература

• Brockett, R. W.. Finite dimensional linear systems (англ.). — John Wiley & Sons, 1970.

См. также

• Наблюдаемость (теория управления)