Упругая карта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Сравнение нелинейного метода главных многообразий и линейного метода главных компонент (МГК) [1] для визуализации данных генетических чипов по экспрессии генов в раке груди: a) Расположение узлов карты и двумерная главная поверхность, спроектированная на трехмерное линейное многообразие первых трех главных компонент. Распределение точек данных искривленно и не может быть адекватно аппроксимировано двумерной главной плоскостью; b) Распределение проекций точек данных во внутренние координаты двумерной нелинейной главной поверхности (ELMap2D) вместе с оценкой плотности точек; c) То же, что и b), но для линейного двумерного главного многообразия (PCA2D). «Базальный» («basal») подтип рака груди визуализируется более адекватно на нелинейном отображении ELMap2D, а также некоторые особенности распределения точек данных (такие как, небольшие локальные сгущения плотности) лучше отражены в сравнении с PCA2D. Главные многообразия построены с использованием метода упругих карт. Данные об экспрессии генов взяты из [2]. Программное обеспечение доступно для свободного некоммерческого использования. [3][4]

Упругая карта служит для нелинейного сокращения размерности данных. В многомерном пространстве данных располагается поверхность, которая приближает имеющиеся точки данных и при этом является, по возможности, не слишком изогнутой. Данные проецируются на эту поверхность и потом могут отображаться на ней, как на карте. Ее можно представлять себе как упругую пластину, погруженную в пространство данных и прикрепленную к точкам данных пружинками. Служит обобщением метода главных компонент (в котором вместо упругой пластины используется абсолютно жесткая плоскость).

По построению, упругая карта представляет собой систему упругих пружин, вложенную в многомерное пространство данных[1][5]. Эта система апроксимирует двумерное многообразие. Изменение коэффициентов упругости системы позволяет пользователю переключаться от совершенно неструктурированной кластеризации методом K-средних (в пределе нулевой упругости) к многообразиям близким к линейным многообразиям главных компонент (в пределе очень больших модулей изгиба и малых модулей растяжения). В промежуточном диапазоне значений коэффициентов упругости, система эффективно апроксимирует некоторое нелинейное многообразие. Данный подход основывается на аналогии с механикой: главное многообразие, проходящее через «середину» данных, может быть представлено как упругая мембрана или пластинка. Метод был разработан проф., д.ф.-м.н. А. Н. Горбанем, к.т.н. А. Зиновьевым и к.т.н А. Питенко в 1996—2001 гг.

Упругая энергия карты[править | править вики-текст]

Пусть набор данных будет представлен множеством векторов S в конечномерном Евклидовом пространстве. «Упругая карта» представлена набором её узлов W_j в том же пространстве. Для каждой точки данных s \in S , определяется узел-«хозяин» (host) как ближайший к точке узел карты W_j (если окажется, что ближайших узлов несколько, то выбирается попросту узел с наименьшим порядковым номером). Набор данных S делится на классы-таксоны K_j=\{s \ | \ W_j \mbox{ is a host of } s\}.

Энергия апроксимации есть попросту среднеквадратичное уклонение от узлов карты

D=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^k \sum_{x \in K_j}\|x-W_j\|^2,

или, другими словами, есть суммарная упругая энергия пружинок с единичным коэффициентом упругости, соединяющих каждую точку данных с её узлом-«хозяином».

Необходимо ввести следующую дополнительная структуру на множестве узлов. Некоторые пары узлов, (W_i,W_j), соединены упругими связями-ребрами. Обозначим набор ребер графа как E. Кроме того, будем объединять некоторые тройки узлов, (W_i,W_j,W_k) в «ребра жесткости». Обозначим набор ребер жесткости как G.

Энергия растяжения упругой карты определяется как U_{E}=\frac{1}{2}\lambda \sum_{(W_i,W_j) \in E} \|W_i -W_j\|^2 ;
Энергия сгиба упругой карты определяется как U_G=\frac{1}{2}\mu \sum_{(W_i,W_j,W_l) \in G} \|W_i -2W_j+W_l\|^2 ;

где \lambda и  \mu являются коэффициентами упругости на растяжение и сгиб соответственно.

Например, в случае двумерной прямоугольной сетки узлов, упругие связи являются вертикальными и горизонтальными ребрами решетки (пары ближайших вершин), в то время как ребра жесткости есть вертикальные и горизонтальные тройки последовательных (ближайших) узлов.

Энергия упругой карты определена как U=D+U_E+U_G.

Мы требуем от вложения карты того, чтобы карта находилась бы в механическом равновесии: карта должна минимизировать энергию упругости U.

Алгоритм максимизации ожидания (EM-алгоритм)[править | править вики-текст]

Для заданного разбиения набора данных S на классы K_j , минимизация квадратичного функционала U сводится к задаче решения системы линейных уравнений с разреженной матрицей коэффициентов. Вполне аналогично итеративному алгоритму построения главных компонент или алгоритму метода K-средних, может быть использован прием «расщепления»:

  • Для заданного положения узлов \{W_j\} находим \{K_j\};
  • Для заданного разбиения \{K_j\} минимизируем U и находим \{W_j\};
  • Если конфигурация узлов мало меняется, завершить процесс, иначе повторить итерацию.

Подобный алгоритм максимизации ожидания гарантирует сходимость к локальному минимуму U. Для того, чтобы улучшить апроксимацию, могут быть использованы различные дополнительные методы: например, стратегия «размягчения». Согласно этому приему, мы должны начать построение карты с очень жесткой системы (малые длины ребер, малые изгибы и большие значения коэффициентов упругости \lambda и \mu ), а завершать построение «гибкой» системой (малые значения \lambda и \mu ). Обучение карты проходит в несколько этапов, причем каждый этап характеризуется своей упругостью.

Другой вариант стратегии оптимизации может быть назван «растущей сеткой»: построение карты начинается с небольшого числа узлов, и продолжается постепенным добавлением новых узлов, с последующей оптимизацией положения системы на каждом этапе[5].

Применение[править | править вики-текст]

Пример использования главной кривой, построенной методом упругих карт: Нелинейный индекс качества жизни[6]. Здесь точки представляют собой данные о 171 странах в 4-мерном пространстве сформированном значениями четырёх показателей: валовый доход на душу населения, ожидаемая продолжительность жизни, детская смертность, заболеваемось туберкулезом. Различные формы и цвета точек отображают разные географические местоположения. Толстая красная линия изображает «главную кривую», апроксимирующую набор данных.

Главные применения метод нашёл в биоинформатике [7] [8], для разведочного анализа и визуализации многомерных данных, для визуализации данных в экономике, социологии и политологии [9], как вспомогaтельный метод для визуализации данных различной природы, привязанных к географической сетке. В последнее время метод был адаптирован как средство для систем поддержки принятия решений для отбора, оптимизации и организации биржевых корзин.[10]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 A. N. Gorban, A. Y. Zinovyev, Principal Graphs and Manifolds, Из: Handbook of Research on Machine Learning Applications and Trends: Algorithms, Methods and Techniques, Olivas E.S. et al Eds. Information Science Reference, IGI Global: Hershey, PA, USA, 2009. 28-59.
  2. Wang, Y., Klijn, J.G., Zhang, Y., Sieuwerts, A.M., Look, M.P., Yang, F., Talantov, D., Timmermans, M., Meijer-van Gelder, M.E., Yu, J. et al.: Gene expression profiles to predict distant metastasis of lymph-node-negative primary breast cancer. Lancet 365, 671—679 (2005); Набор данных в сети
  3. A. Zinovyev, ViDaExpert - Multidimensional Data Visualization Tool (free for non-commercial use). Institut Curie, Paris.
  4. A. Zinovyev, ViDaExpert overview, IHES (Institut des Hautes Études Scientifiques), Bures-Sur-Yvette, Île-de-France.
  5. 1 2 А. Ю. Зиновьев. Визуализация многомерных данных. Красноярск: Изд-во КГТУ, 2000. — 168 с.
  6. A. N. Gorban, A. Zinovyev, Principal manifolds and graphs in practice: from molecular biology to dynamical systems, International Journal of Neural Systems, Vol. 20, No. 3 (2010) 219—232.
  7. A.N. Gorban, B. Kegl, D. Wunsch, A. Zinovyev (Eds.), Principal Manifolds for Data Visualisation and Dimension Reduction, LNCSE 58, Springer: Berlin — Heidelberg — New York, 2007. ISBN 978-3-540-73749-0
  8. M. Chacón, M. Lévano, H. Allende, H. Nowak, Detection of Gene Expressions in Microarrays by Applying Iteratively Elastic Neural Net, In: B. Beliczynski et al. (Eds.), Lecture Notes in Computer Sciences, Vol. 4432, Springer: Berlin — Heidelberg 2007, 355—363.
  9. A. Zinovyev, Data visualization in political and social sciences, In: SAGE «International Encyclopedia of Political Science», Badie, B., Berg-Schlosser, D., Morlino, L. A. (Eds.), 2011.
  10. M. Resta, Portfolio optimization through elastic maps: Some evidence from the Italian stock exchange, Knowledge-Based Intelligent Information and Engineering Systems, B. Apolloni, R.J. Howlett and L. Jain (eds.), Lecture Notes in Computer Science, Vol. 4693, Springer: Berlin — Heidelberg, 2010, 635—641.