Уравнение Бюргерса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных, используемое в гидродинамике. Это уравнение известно в различных областях прикладной математики. Уравнение названо в честь Иоганна Мартинуса Бюргерса (1895—1981). Является частным случаем уравнений Навье — Стокса в одномерном случае.

Пусть задана скорость течения жидкости u и ее кинематическая вязкость \nu . Уравнение Бюргерса в общем виде записывается так:

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.

Если влиянием вязкости можно пренебречь, то есть \nu = 0, уравнение приобретает вид:

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0.

В этом случае мы получаем уравнение Хопфа — квазилинейное уравнение переноса — простейшее уравнение, описывающее разрывные течения или течения с ударными волнами.

Если \nu вещественно и не равно 0, уравнение сводится к случаю \nu=1 : для \nu< 0 нужно сначала сделать замену u \to - u  , x \to - x, и для любого знака \nu: u \to \sqrt{|\nu|} \,u  , x \to \sqrt{|\nu|} \,x .

Уравнение Бюргерса можно линеаризовать преобразованием Хопфа-Коула. Для этого (при \nu=1) нужно сделать замену функции:

u= \frac{\partial \ln w }{\partial x} = w_x / w .

При этом решения уравнения Бюргерса сводятся к положительным решениям линейного уравнения теплопроводности:

u(x,t)= \frac{\partial}{\partial x}\ln\Bigl\{(4\pi t)^{-1/2}\int_{-\infty}^\infty\exp\Bigl[-\frac{(x-x')^2}{4 t}  -\frac{1}{2}\int_0^{x'}u(x'',0)dx''\Bigr]dx'\Bigr\}.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]