Уравнение Клейна — Гордона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Клейна — Гордона (Уравнение Клейна — Гордона — Фока, более правильное название уравнение Клейна—Фока[1]):


\partial^2_x \psi + \partial^2_y \psi + \partial^2_z \psi - {1\over c^2}\partial^2_t \psi - {m^2 c^2\over \hbar^2} \psi = 0.

или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где \hbar=c=1):


(\square\ - m^2) \psi = 0.

где \square\  — оператор Д’Аламбера.

— является релятивистской версией уравнения Шрёдингера. Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (впрочем, пока с определенностью не известных в фундаментальной физике). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами.[2] Кроме прочего, ясно, что уравнение является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона — Фока, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

  • в одномерном случае — натянутая тяжелая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
  • макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, еще и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
  • более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона — Фока в координатах, лежащих в плоскости слоев.

Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.

  • Замечание: положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона — Фока гармонический осциллятор с частотой \pm mc^2 / \hbar, что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой m частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.

История[править | править вики-текст]

Уравнение Клейна — Гордона первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него, потому что не смог включить спин электрона в уравнение. Шрёдингер сделал упрощение уравнения Клейна — Гордона и нашёл «своё» уравнение.

В 1926 году, вскоре после публикации уравнения Шрёдингера, Фок написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости и независимо вывел это уравнение. И Клейн, и Фок использовали метод Калуцы — Клейна. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.

Вывод[править | править вики-текст]

(Здесь использованы естественные единицы где \hbar=c=1).

Уравнение Шрёдингера для свободной частицы записывается так:


\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} \psi = i \partial_t \psi

где \hat{\mathbf{p}} = -i\mathbf{\nabla} — оператор импульса, оператор же  \hat{E} = i \partial_t  — будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии.

Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).

Используем релятивистское дисперсионное (связывающее энергию и импульс) соотношение (из СТО):

p^2 + m^2 = E^2.

Тогда просто подставляя квантовомеханические оператор импульса и оператор энергии [3] — получаем:

((-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2) \psi= i^2 \partial_t^2 \psi,

что в ковариантной форме запишется так:

(\square\ - m^2) \psi = 0.

где  \square\ = \nabla^2 - \partial_t^2  — оператор Д’Аламбера.

Решение уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы[править | править вики-текст]

Искать решение уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы

\mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi
= \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi

можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:

\psi(\mathbf{r},\; t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},

подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на \mathbf k и \omega:

-k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}.

Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определенной энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для нее просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:


\langle\mathbf{p}\rangle=
\langle \psi |\hat{\mathbf{p}}|\psi\rangle =
\langle \psi |-i\hbar\mathbf{\nabla}|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k}

\langle E\rangle=
\langle \psi |\hat{E}|\psi\rangle =
\langle \psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega

Найденное соотношение k и \omega тогда (снова) дает уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики:

\langle E^2 \rangle=m^2c^4+\langle \mathbf{p}^2 \rangle c^2.

Причем ясно, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определенной энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна — Гордона (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).

Для безмассовых частиц мы можем положить m=0 в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде:

\langle E^2 \rangle=\langle \mathbf{p}^2 \rangle c^2.

Использовав формулу групповой скорости  \mathbf{v}_{gr} = \partial \omega / \partial \mathbf{k}\ , нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе, того же результата можно добиться и просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой, но в случае уравнения Клейна — Гордона мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде [4] (очевиден только квадрат гамильтониана).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Кафедра квантовой механики
  2. см. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. - "Введение в теорию квантованных полей" §§ 4,6
  3. Можно было бы просто извлечь корень из оператора в скобках в левой части уравнения
    ((-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2) \psi= i^2 \partial_t^2 \psi,
    то есть найти таким образом гамильтониан, тогда в правой части осталась бы первая производная по времени, и аналогия с уравнением Шрёдингера была бы еще более непосредственной и прямой. Однако утверждается, что для случая скалярного (или векторного) поля \psi невозможно проделать это так, чтобы получившийся гамильтониан был локальным. Для случая же биспинорного \psi Дираку удалось получить таким образом локальный (и даже с производными лишь первого порядка) гамильтониан, получив этим самым так называемое уравнение Дирака (все решения которого в пространстве Минковского, кстати, являются и решениями уравнения Клейна — Гордона, но не обратно; а в искривлённом пространстве различие уравнений становится явным).
  4. см. примечание 2.

См. также[править | править вики-текст]

Внешние ссылки[править | править вики-текст]