Уравнение Колмогорова — Чепмена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Колмогорова — Чепмена для однопараметрического семейства непрерывных линейных операторов \mathbf{P}(t),\; t > 0 в топологическом векторном пространстве выражает полугрупповое свойство:

\mathbf{P}(t+s)=\mathbf{P}(t)\mathbf{P}(s).

Чаще всего этот термин используется в теории однородных марковских случайных процессов, где \mathbf{P}(t),\; t\geq 0  — оператор, преобразующий распределение вероятностей в начальный момент времени в распределение вероятности в момент времени t (\mathbf{P}(0)=\mathbf{1}).

Для неоднородных процессов рассматриваются двухпараметрические семейства операторов \mathbf{P}(t,h),\; h > t > 0 , преобразующих распределение вероятностей в момент времени t > 0 в распределение вероятности в момент времени h > t > 0. Для них уравнение Колмогорова—Чепмена имеет вид

\mathbf{P}(t,s)=\mathbf{P}(t,h)\mathbf{P}(h,s), \;s > h > t > 0.

Для систем с дискретным временем параметры t, h, s принимают натуральные значения.

Прямое и обратное уравнения Колмогорова[править | править вики-текст]

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова—Чепмена по s при s=0 получаем прямое уравнение Колмогорова:

\frac{d \mathbf{P}(t)}{d t}=\mathbf{P}(t)\mathbf{Q},

где

\mathbf{Q}=\lim_{h \to 0}\frac{\mathbf{P}(h)-\mathbf{1}}{h}.

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова — Чепмена по t при t=0 получаем обратное уравнение Колмогорова

\frac{d \mathbf{P}(t)}{d t}=\mathbf{Q}\mathbf{P}(t).

Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор \mathbf{Q} уже не обязательно непрерывен, и может быть определен не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.

Примеры[править | править вики-текст]

Рассмотрим однородные марковские случайные процессы в \mathbb{R}^n, для которых оператор переходных вероятностей \mathbf{P}(t) задаётся переходной плотностью p(t,x,y): вероятность перехода из области U в область W за время t есть \int\limits_U dx \,\int\limits_V dy \, p(t,x,y). Уравнение Колмогорова—Чепмена для плотностей имеет вид:

p(t+s,x,y)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}p(t,x,z)p(s,z,y)\, dz .

При t>0, \, t \to 0 переходная плотность p(t,x,y) стремится к δ-функции (в смысле слабого предела обобщенных функций):\lim_{t \to 0} p(t,x,y) = \delta(x-y). Это означает, что \lim_{t \to 0} \mathbf{P}(t)=\mathbf{1}. Пусть существует предел (также обобщённая функция)

q(x,y)=\lim_{h \to 0}\frac{p(h,x,y)-\delta(x-y)}{h}.

Тогда оператор \mathbf{Q} действует на функции f(x), определённые на \mathbb{R}^n, как (\mathbf{Q}f)(x) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} q(x,y) f(y) \, dy , и прямое уравнение Колмогорова принимает вид

\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}=\int\limits_{\mathbb{R}^n} p(t,x,z) q(z,y) \, dz,

а обратное уравнение Колмогорова

\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}=\int\limits_{\mathbb{R}^n}  q(x,z) p(t,z,y) \, dz .

Пусть оператор \mathbf{Q} — дифференциальный оператор второго порядка с непрерывными коэффициентами:

(\mathbf{Q}f)= \frac{1}{2}\sum_{i,j} a^{ij}(x)\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}+ \sum_j b^j(x) \frac{\partial f}{\partial x^j}.

(это означает, что q(x,y) есть линейная комбинация первых и вторых производных \delta(x-y) с непрерывными коэффициентами). Матрица a^{ij} симметрична. Пусть она положительно определена в каждой точке (диффузия). Прямое уравнение Колмогорова имеет вид

\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \frac{\partial^2}{\partial y^i\partial y^j}(a^{ij}(y)p(t,x,y))- \sum_j \frac{\partial }{\partial y^j}(b^j(y) p(t,x,y)).

Это уравнение называется уравнением Фоккера — Планка. Вектор b^j в физической литературе называется вектором сноса, а матрица a^{ij} — тензором диффузии Обратное уравнение Колмогорова в этом случае

\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}= \frac{1}{2}\sum_{i,j} a^{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x^i\partial x^j}p(t,x,y)+ \sum_j b^j(x) \frac{\partial }{\partial x^j} p(t,x,y).

См. также[править | править вики-текст]

Цепь Маркова
Уравнение Фоккера — Планка

Литература[править | править вики-текст]

  • Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов. — М.: Наука, 1996. — 400 с.