Уравнение Коши — Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике (дифференциальных уравнениях), уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.

Уравнение порядка n[править | править исходный текст]

Общий вид уравнения :


\sum^{n}_{k=0} {a_k(\alpha x + \beta )^k y^{(k)}(x)}= f(x)
.

Его частный случай :


\sum^{n}_{k=0} {a_kx^k y^{(k)}(x)}= f(x)
.

Подстановка[править | править исходный текст]

Подстановка вида ~\ (\alpha x + \beta ) = e^t то есть ~\ t = \ln (\alpha x + \beta ) приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что ~\ t_x'= \alpha (\alpha x + \beta )^{-1}, ~\ t_{xx}''= -\alpha^2 (\alpha x + \beta )^{-2} и ~\ t_{xxx}'''= +2\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3}.
В соответствии с этим:


~\ y(t)=y(t(x))

откуда


~\ y_x'(x)=y_t'(t)t_x'=y_t'(t)\alpha (\alpha x + \beta )^{-1}

таким образом


~\ (\alpha x + \beta )y_x'(x)=\alpha y_t'(t)

Вычислим очередную производную сложной функции


~\ y_{xx}''(x)=(y_x'(x))_x'=(y_t'(t)t_x')_x'=
y_{tt}''(t)t_x't_x'+y_t'(t)t_{xx}''=
y_{tt}''(t)\alpha^2 (\alpha x + \beta )^{-2}+y_t'(t)(-\alpha^2) (\alpha x + \beta )^{-2}
,

что приводит к


~\ (\alpha x + \beta )^2 y_{xx}''(x)=\alpha^2 (y_{tt}''(t)- y_t'(t))
.

и далее


~\ y_{xxx}'''(x)=(y_{xx}''(x))_x'=(y_{tt}''(t)(t_x')^2+y_t'(t)t_{xx}'')_x'=
y_{ttt}'''(t)t_x'(t_x')^2 + y_{tt}''(t)2t_x't_{xx}'' +
y_{tt}''(t)t_x't_{xx}'' +y_t'(t)t_{xxx}'''=


~\ = y_{ttt}'''(t)(t_x')^3 + 3y_{tt}''(t)t_x't_{xx}'' + y_t'(t)t_{xxx}'''=
y_{ttt}'''(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3} -
3y_{tt}''(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3} +
2y_t'(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3}

что, аналогично, приводит к


~\ (\alpha x + \beta )^3 y_{xxx}'''(x)= \alpha^3 (y_{ttt}'''(t)-3y_{tt}''(t)+2y_t'(t))

Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n

Пример[править | править исходный текст]

Дано неоднородное уравнение

~\ (2x-1)^3y'''(x)+4(2x-1)^2y''(x)-8(2x-1)y'(x)=32\ln (2x-1).

Определив подстановку ~\ t=\ln (2x-1) ~\ \left( (2x-1)=e^t \right) , приходим к уравнению

~\ 8(y'''(t)-3y''(t)+2y'(t))+4\cdot 4(y''(t)- y'(t)) - 8\cdot 2y'(t)=32t.

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

~\ y'''(t)-y''(t)-2y'(t)=4 t,

решение которого имеет вид

~\ y(t)=c_1e^{-1t}+c_2e^{2t}+c_3+t-t^2

или в терминах ~\ x

~\ y(x)=c_1(2x-1)^{-1}+c_2(2x-1)^{2}+c_3+ln (2x-1)-ln(2x-1)^2

Уравнение второго порядка[править | править исходный текст]

Общий вид уравнения :


~\ a_2 (\alpha x + \beta )^2 y''(x) + a_1 (\alpha x + \beta ) y'(x) + a_0 y(x) = f(x)
.

Его частный случай :


~\ a_2 x^2 y''(x) + a_1 x y'(x) + a_0 y(x) = f(x)
.

Подстановкой ~\ (\alpha x + \beta ) = e^t то есть ~\ t = \ln (\alpha x + \beta )
или, соответственно,

~\ x = e^t то есть ~\ t = \ln x

приводится к виду линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.


~\ a_2 \alpha^2 y''(t) + a_1 \alpha y'(t) + a_0 y(t) = f(e^t)
.

или, соответственно,


~\ a_2 y''(t) + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = f(e^t)
.

Пример[править | править исходный текст]

Дано неоднородное уравнение

~\ x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=6x.

Определив подстановку ~\ t=\ln x (~\ x=e^t), приходим к уравнению

~\ (y''(t)- y'(t))- 2y'(t) + 2y(t)=6e^t.

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

~\ y''(t)- 3y'(t) + 2y(t)=6e^t,

решение которого имеет вид

~\ y(t)=c_1e^{+1t}+c_2e^{+2t}-6te^{+1t}

или в терминах ~\ x

~\ y(x)=c_1x+c_2x^{2}-6x\ln x

Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядка[править | править исходный текст]

Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:


~\ x^2 y''(x) + p x y'(x) + q y(x) = 0
.

Его решениями являются функции вида:


~\ y(x) = x^r
,

где r — решения характеристического уравнения


~\ r^2  + (p - 1)r + q = 0
,

которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной.

Пример[править | править исходный текст]

Дано однородное уравнение

~\ x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=0.

Характеристическое уравнение которого имеет вид


~\ r^2  + (-2 - 1)r + 2 = 0 \Leftrightarrow r^2 -3r + 2 = 0
,

с решениями ~\ r_1=1, ~\ r_2=2.
Тогда общее решение однородного уравнения

~\ y(x)=c_1x+c_2x^{2}