Уравнение Коши — Эйлера

В математике (дифференциальных уравнениях), уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.

Уравнение порядка n

Общий вид уравнения :

$\sum^{n}_{k=0} {a_k(\alpha x + \beta )^k y^{(k)}(x)}= f(x)$.

Его частный случай :

$\sum^{n}_{k=0} {a_kx^k y^{(k)}(x)}= f(x)$.

Подстановка

Подстановка вида $~\ (\alpha x + \beta ) = e^t$ то есть $~\ t = \ln (\alpha x + \beta )$ приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что $~\ t_x'= \alpha (\alpha x + \beta )^{-1}$, $~\ t_{xx}''= -\alpha^2 (\alpha x + \beta )^{-2}$ и $~\ t_{xxx}'''= +2\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3}$.
В соответствии с этим:

$~\ y(t)=y(t(x))$

откуда

$~\ y_x'(x)=y_t'(t)t_x'=y_t'(t)\alpha (\alpha x + \beta )^{-1}$

таким образом

$~\ (\alpha x + \beta )y_x'(x)=\alpha y_t'(t)$

Вычислим очередную производную сложной функции

$~\ y_{xx}''(x)=(y_x'(x))_x'=(y_t'(t)t_x')_x'= y_{tt}''(t)t_x't_x'+y_t'(t)t_{xx}''= y_{tt}''(t)\alpha^2 (\alpha x + \beta )^{-2}+y_t'(t)(-\alpha^2) (\alpha x + \beta )^{-2}$,

что приводит к

$~\ (\alpha x + \beta )^2 y_{xx}''(x)=\alpha^2 (y_{tt}''(t)- y_t'(t))$.

и далее

$~\ y_{xxx}'''(x)=(y_{xx}''(x))_x'=(y_{tt}''(t)(t_x')^2+y_t'(t)t_{xx}'')_x'= y_{ttt}'''(t)t_x'(t_x')^2 + y_{tt}''(t)2t_x't_{xx}'' + y_{tt}''(t)t_x't_{xx}'' +y_t'(t)t_{xxx}'''=$

$~\ = y_{ttt}'''(t)(t_x')^3 + 3y_{tt}''(t)t_x't_{xx}'' + y_t'(t)t_{xxx}'''= y_{ttt}'''(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3} - 3y_{tt}''(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3} + 2y_t'(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3}$

что, аналогично, приводит к

$~\ (\alpha x + \beta )^3 y_{xxx}'''(x)= \alpha^3 (y_{ttt}'''(t)-3y_{tt}''(t)+2y_t'(t))$

Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n

Пример

Дано неоднородное уравнение

$~\ (2x-1)^3y'''(x)+4(2x-1)^2y''(x)-8(2x-1)y'(x)=32\ln (2x-1)$.

Определив подстановку $~\ t=\ln (2x-1)$ $~\ \left( (2x-1)=e^t \right)$, приходим к уравнению

$~\ 8(y'''(t)-3y''(t)+2y'(t))+4\cdot 4(y''(t)- y'(t)) - 8\cdot 2y'(t)=32t$.

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

$~\ y'''(t)-y''(t)-2y'(t)=4 t$,

решение которого имеет вид

$~\ y(t)=c_1e^{-1t}+c_2e^{2t}+c_3+t-t^2$

или в терминах $~\ x$

$~\ y(x)=c_1(2x-1)^{-1}+c_2(2x-1)^{2}+c_3+ln (2x-1)-ln(2x-1)^2$

Уравнение второго порядка

Общий вид уравнения :

$~\ a_2 (\alpha x + \beta )^2 y''(x) + a_1 (\alpha x + \beta ) y'(x) + a_0 y(x) = f(x)$.

Его частный случай :

$~\ a_2 x^2 y''(x) + a_1 x y'(x) + a_0 y(x) = f(x)$.

Подстановкой $~\ (\alpha x + \beta ) = e^t$ то есть $~\ t = \ln (\alpha x + \beta )$
или, соответственно,

$~\ x = e^t$ то есть $~\ t = \ln x$

приводится к виду линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

$~\ a_2 \alpha^2 y''(t) + a_1 \alpha y'(t) + a_0 y(t) = f(e^t)$.

или, соответственно,

$~\ a_2 y''(t) + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = f(e^t)$.

Пример

Дано неоднородное уравнение

$~\ x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=6x$.

Определив подстановку $~\ t=\ln x$ ($~\ x=e^t$), приходим к уравнению

$~\ (y''(t)- y'(t))- 2y'(t) + 2y(t)=6e^t$.

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

$~\ y''(t)- 3y'(t) + 2y(t)=6e^t$,

решение которого имеет вид

$~\ y(t)=c_1e^{+1t}+c_2e^{+2t}-6te^{+1t}$

или в терминах $~\ x$

$~\ y(x)=c_1x+c_2x^{2}-6x\ln x$

Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядка

Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:

$~\ x^2 y''(x) + p x y'(x) + q y(x) = 0$.

Его решениями являются функции вида:

$~\ y(x) = x^r$,

где $r$ — решения характеристического уравнения

$~\ r^2 + (p - 1)r + q = 0$,

которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной.

Пример

Дано однородное уравнение

$~\ x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=0$.

Характеристическое уравнение которого имеет вид

$~\ r^2 + (-2 - 1)r + 2 = 0 \Leftrightarrow r^2 -3r + 2 = 0$,

с решениями $~\ r_1=1$, $~\ r_2=2$.
Тогда общее решение однородного уравнения

$~\ y(x)=c_1x+c_2x^{2}$