Уравнение Ланжевена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Статистическая физика
S = k_B \, \ln\Omega
Термодинамика
Молекулярно-кинетическая теория
См. также: Портал:Физика

Уравнение Ланжевена — стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее броуновское движение.

Первое уравнение, изученное Ланжевеном, описывало броуновское движение с постоянным потенциалом, то есть ускорение \mathbf a броуновской частицы массы m выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы \mathbf v (Закон Стокса), шумового члена \boldsymbol\eta(t) (название, которое используется в физике для обозначения стохастического процесса в дифференциальном уравнении) — за счёт непрерывных соударений частицы с молекулами жидкости, и \mathbf \Phi (\mathbf x) — систематической силы, возникающей при внутримолекулярных и межмолекулярных взаимодействиях:

m\mathbf{a} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \mathbf \Phi(\mathbf x) - \gamma \mathbf{v} + \boldsymbol\eta(t).

Решение уравнения[править | править вики-текст]

Перепишем уравнение Ланжевена без внешних сил. Кроме того, без потери общности можно рассматривать только одну из координат.

m \ddot x = - \frac {1}{B} \dot x + F(t)

Будем полагать, что случайная сила удовлетворяет следующим условиям:

 \langle F(t) \rangle = 0
 \langle F(t_1) F(t_2) \rangle = b \delta(t_1 - t_2)

где b — некоторая константа, которую мы определим позже,  \delta(t_1 - t_2)  — дельта-функция Дирака. Угловыми скобками обозначено усреднение по времени. Это т. н. дельта-коррелированая случайная величина: её автокорреляционная функция равна дельта-функции. Такой случайный процесс также называется белым шумом.

Перепишем уравнение в терминах скорости:

 \dot v = - \lambda v + \frac Fm

где \lambda=\frac {1}{mB}

Пусть в начальный момент времени  t=t_0 частица имела скорость  v_0 . Будем искать решение в виде:  v(t)=u(t) \exp(-\lambda t), тогда для  u(t) получим следующее дифференциальное уравение:

 \dot u(t) = \exp(\lambda t) \frac Fm

В итоге, получаем искомое выражение для скорости:

v(t) = v_0 \exp(-\lambda t) + \exp(-\lambda t) \int\limits_0^t \frac{F(\tau)}{m}\exp(\lambda \tau)d\tau

Из него следуют два важных соотношения:

  1.  \langle v(t) \rangle = v_0 \exp(-\lambda t) . То есть среднее значение скорости стремится к нулю с течением времени.
  2.  \langle v^2(t) \rangle = v_0^2 \exp(-2\lambda t) + \frac{b}{2 \lambda m^2} \left(1-\exp(-2\lambda t)\right). Средний квадрат скорости со временем стремится к значению  \frac{b}{2 \lambda m^2} . Если предположить, что кинетическая энергия частицы со временем стремится к тепловой, то можно определить значение коэффициента  b :
 b = 2 \frac{k_B T}{B}

Преобразованием исходного выражения можно получить, что:

 \frac {d\langle x^2(t) \rangle}{dt} = \frac{2}{\lambda}\langle\left( \frac{dx}{dt} \right)^2\rangle
 \langle \mathbf x^2 \rangle = 6 k_B T B t

Откуда следует соотношение Эйнштейна:

 D =  k_B T B

где B — подвижность броуновской частицы.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • W. T. Coffey, Yu P. Kalmykov, J. T. Waldron, The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Second Edition), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics — Vol 14. (The First Edition is Vol 10)
  • Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation