Уравнение Линдблада

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Уравнение Линдблада — уравнение для матрицы плотности, является наиболее общим видом марковского производящего уравнения, описывающего неунитарную (диссипативную, негамильтонову) эволюцию матрицы плотности \rho. Эволюция при этом представляется вполне-положительным отображением (супероператором), сохраняющим след. Предложено в 1976 году Г. Линдбладом[1], В. Горини, А. Коссаковским, Е. К. Г. Сударшаном[2].

Уравнение Линдблада для матрицы плотности может быть записано в виде:

\frac d{dt} \rho = \frac 1{i\hbar} [H,\rho ] + \frac 1{2\hbar} \sum^\infty_{k=1} \big([V_k \rho, V^\dagger_k] +[V_k, \rho V^\dagger_k] \big),

где \rho — матрица плотности, H — оператор Гамильтона, V_k — некие операторы. Если операторы V_k равны нулю, то уравнение Линдблада переходит в уравнение фон Неймана (квантовое уравнение Лиувилля).

Уравнением Линдблада называют также уравнение для квантовой наблюдаемой. Это уравнение имеет вид:

\frac d{dt} A = -\frac 1{i\hbar} [H, A] + \frac 1{2\hbar} \sum^\infty_{k=1} \big(V^\dagger_k [A, V_k] + [V^\dagger_k, A] V_k \big),

где A — квантовая наблюдаемая. Если операторы V_k равны нулю, то уравнение Линдблада для квантовой наблюдаемой A переходит в уравнение Гейзенберга

Уравнение Линдблада, называемое также квантовым марковским уравнением, применяется для описания открытых, диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Важным частным случаем уравнения Линдблада является модель случайных столкновений[3], в которой операторы V_k имеют вид: V_{kl} = \hbar\gamma\sqrt{\tilde\rho_{kk}} |k\rangle \langle l| (для удобства записи матричный индекс \ k заменен на двойной). Подстановка этих операторов приводит уравнение Линдблада к виду:

\frac d{dt} \rho = \frac 1{i\hbar} [H,\rho ] + \gamma(\tilde\rho - \rho),

где \tilde\rho — фиксированная диагональная матрица с ненулевыми элементами \tilde\rho_{kk}, такими, что \operatorname{Tr}\tilde\rho = 1, описывающая матрицу плотности термодинамически равновесного состояния системы. Модель случайных столкновений пригодна для случаев, когда взаимодействие квантовой системы с резервуаром происходит в режиме коротких и сильных импульсов, между которыми система эволюционирует как закрытая.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Lindblad G. On the generators of quantum dynamical semigroups, // Commun. Math. Phys. — 1976. — № 48. — С. 119—130.
  2. Gorini V., Kossakowski A., Sudarshan E. C. G. Completely positive dynamical semigroups of N-level systems // J. Math. Phys. — 1976. — № 17. — С. 821—825.
  3. Ильинский Ю. А., Келдыш Л. В. Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом.. — М.: Издательство МГУ, 1989.

Литература[править | править исходный текст]


См. также[править | править исходный текст]