Уравнение Лондонов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Лондонов (в некоторых источниках — уравнение Лондона) устанавливает связь между током и магнитным полем в сверхпроводниках. Впервые оно было получено в 1935 г. братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами[1]. Уравнение Лондонов дало первое удовлетворительное объяснение эффекта Мейсснера — спадания магнитного поля в сверхпроводниках.

Уравнение Лондона[править | править вики-текст]

В полной мере смысл механизма упорядочения в сверхпроводимости был впервые осознан физиком-теоретиком Фрицем Лондоном[2]. Осознав, что электродинамическое описание, основанное исключительно на уравнениях Максвелла, в пределе нулевого сопротивления неизбежно будет предсказывать необратимое поведение идеального проводника и не будет давать обратимый диамагнетизм сверхпроводника, Лондон ввел дополнительное уравнение. Вид этого уравнения можно получить различными способами, например путем минимизации свободной энергии относительно распределения тока и поля[3] или в предположении абсолютной жесткости сверхпроводящих волновых функций по отношению к воздействию внешнего поля; для наших целей, однако, достаточно считать его интуитивной гипотезой, полностью оправдываемой своим успехом.

Уравнение, предложенное Лондоном, имеет вид

\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \operatorname{rot} \mathbf{J} + \mathbf{B} = 0

где \mathbf{J} — плотность тока, \mathbf{B} — магнитная индукция, \lambda^2 = \frac{mc^2}{4 \pi n q^2}, m и q — масса и заряд сверхпроводящих носителей тока, n — плотность этих носителей.

Лондоновская глубина проникновения[править | править вики-текст]

При помощи уравнения Максвелла \operatorname{rot} \mathbf{B} = \frac{4 \pi \mathbf{J}}{c} можно записать уравнение Лондона в виде

\mathbf{B} + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{B} = 0

или

\mathbf{B} - \lambda^2 \Delta \mathbf{B} = 0.

Решение этого уравнения в сверхпроводящей области с линейными размерами, намного большими \lambda , есть \mathbf{B} (\xi) = \mathbf{B}(0)\exp \frac{-\xi}{\lambda} , где \mathbf{B}(\xi) — индукция на глубине \xi под поверхностью. Параметр \lambda имеет размерность длины и называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля. То есть магнитное поле проникает в сверхпроводник лишь на глубину \lambda. Для металлов \lambda \sim 10^{-2} \, мкм.

Природа сверхпроводимости[править | править вики-текст]

Уравнение Лондона дает нам ключ к пониманию природы сверхпроводящего упорядочения. Вводя векторный потенциал \mathbf{A}, где \operatorname{rot} \mathbf{A}=\mathbf{B}, используя калибровку \operatorname{div} \mathbf{A} = 0 и рассматривая односвязный сверхпроводник, мы приходим к уравнению Лондона в форме

\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \mathbf{J} + \mathbf{A} = 0

В присутствии векторного потенциала обобщенный импульс заряженной частицы дается выражением  \mathbf{P} = \sum {\mathbf{p}} = 2  \sum{(m \mathbf{v} + \frac{q \mathbf{A}}{c})}.

Средний импульс на одну частицу можно записать в виде

  \mathbf{\overline{p}} = \frac{q}{c} (\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \mathbf{J} + \mathbf{A}) = 0

Следовательно, сверхпроводящий порядок обусловлен конденсацией носителей тока в состоянии с наименьшим возможным импульсом \mathbf{P} = 0. При этом из принципа неопределенности вытекает, что соответствующий пространственный масштаб упорядоченности бесконечен, то есть мы получаем бесконечную «когерентность» и невозможность воздействовать на систему электронов локализованными в пространстве полями.

Первое уравнение Лондонов[править | править вики-текст]

Уравнение движения для единичного объема сверхпроводящих электронов в электрическом поле имеет вид:

n m \frac{d \mathbf{v}}{dt} = n e \mathbf{E},

где n, \mathbf{v}, m - соответственно концентрация, скорость и масса (сверхпроводящих) электронов. Вводя плотность сверхтока согласно\mathbf{j} = n e \mathbf{v}, получим первое уравнение Лондонов:

\mathbf{E} = \frac{d}{dt} (\Lambda \mathbf{j}), \ \ \Lambda = \frac{m}{n e^2}.

Второе уравнение Лондонов (Вывод)[править | править вики-текст]

Воспользуемся уравнениями Максвелла в виде:

\operatorname{rot}\, \mathbf{H} = \frac{4 \pi}{c} \mathbf {j}

для нахождения объемной плотности кинетической энергии сверхпроводящих электронов:

\mathbf {W}_{k} =  \frac{nmv^2} {2} = \frac{mj^2} {2ne^2}  = \frac{\lambda^2}{8 \pi} (\operatorname{rot}\, \mathbf{H})^2, где \lambda^2 = \frac{m c^2}{4\pi n e^2}.

Также магнитной энергии равна \frac { H^2} {8 \pi}, тогда свободная энергия может быть записана в виде (F_0 - свободная энергия без магнитного поля) интеграла по объему сверхпроводника:

F = F_0 + \frac{1}{8\pi} \int [H^2 + \lambda^2 (\operatorname{rot}\, \mathbf{H})^2] dV.

Первая вариация по полю равна:

\delta F =\frac{1}{8\pi} \int [ 2 \mathbf{H} \delta\mathbf{H}  + 2\lambda^2 \operatorname{rot}\, \mathbf{H} \operatorname{rot} \delta\mathbf{H}] dV = \frac{1}{4\pi} \int [  \mathbf{H}  + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{H}] \delta\mathbf{H} dV -  \frac{\lambda^2}{4\pi} \int  \operatorname{div}[ \operatorname{rot} \mathbf{H} ;\delta\mathbf{H}] dV = 0

Учитывая, что второй интеграл равен нулю (по формуле Гаусса-Остроградского он сводится к интегралу по поверхности, где вариация полагается нулю), имеем

 \mathbf{H}  + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{H} = 0

Что вместе с выражением для векторного потенциала \mathbf{j} = - \frac{c}{4\pi\lambda^2} \mathbf{A} , первым уравнением Лондонов и выбором калибровки Лондонов \operatorname{div} (\mathbf{A}) = 0, \ \ \mathbf{A} \mathbf{n} = 0 дает искомое уравнение:

\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \operatorname{rot} \mathbf{J} + \mathbf{B} = 0

Примечания[править | править вики-текст]

  1. London, F.; H. London (March 1935). «The Electromagnetic Equations of the Supraconductor». Proc. Roy. Soc. (London) A149 (866): 71.
  2. F. London, Superfluids, Vol. 1. Wiley, New York, 1950.
  3. P. G. de Gennes, Superconductivity of Metals and Alloys. Benjamin, New York,. 1966 (см. перевод: М., «Мир», 1968).