Уравнение Пелля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, уравнение Пелля — диофантово уравнение вида


x^2-n y^2=1,

где n — натуральное число, не являющееся квадратом.

Простейшие свойства[править | править исходный текст]

  • Пары (\pm 1,0) всегда являются решениями, называемыми тривиальными.
  • Ввиду симметрии, достаточно найти все решения с положительными x и y.
  • Если n является полным квадратом, то у уравнения нет нетривиальных решений, поскольку в левой части стоит разность двух полных квадратов, что объясняет ограничение на параметр n.

Эквивалентные формулировки и связь с теорией полей[править | править исходный текст]

Пара (x, y) является решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда норма числа x+y\sqrt{n} в расширении \Q(\sqrt{n}) поля \Q равна единице:


N(x+y\sqrt{n}) = (x+y\sqrt{n})(x-y\sqrt{n}) = x^2 - n y^2.

В частности, решению соответствует единица кольца \mathbb{Z}[\sqrt{n}]. Поэтому, а также в силу мультипликативности нормы, решения можно как «умножать», так и «делить»: решениям (x_1,y_1) и (x_2,y_2) можно поставить в соответствие решения


(x_1 x_2 + n y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2), \quad (x_1 x_2 - n y_1 y_2, -x_1 y_2 + y_1 x_2).

Кроме того, существование нетривиальных решений таким образом может быть выведено из теоремы Дирихле о единицах (утверждающей в данном случае, что ранг группы единиц кольца целых расширения \Q(\sqrt{n}) равен 1).

Связь с цепными дробями[править | править исходный текст]

Несложно видеть, что при больших x и y, являющихся решениями уравнения Пелля, отношение x/y должно быть близким к \sqrt{n}. Оказывается, что верно и более сильное утверждение: такая дробь должна быть подходящей дробью для  \sqrt{n}, и имеет место следующий критерий:

Числитель и знаменатель подходящей дроби для \sqrt{n} являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда номер этой подходящей дроби нечётен и сравним с -1 по модулю P, где P — период цепной дроби для \sqrt{n}.


История[править | править исходный текст]

Первые упоминания о таком уравнении были найдены в работах математиков Древней Греции и Древней Индии. Общий способ решения уравнения — так называемый «циклический метод» — присутствует в работах индийского математика XII века Брахмагупты, впрочем, без доказательства, что этот метод всегда приводит к решению. В общем виде задачу сформулировал французский математик Пьер Ферма, поэтому во Франции данное уравнение называется «уравнением Ферма». Современное же название уравнения возникло благодаря Леонарду Эйлеру, ошибочно приписавшему их авторство Джону Пеллю.


См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]