Уравнение Пуассона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравне́ние Пуассо́наэллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид: \Delta \varphi = f,

где \Deltaоператор Лапласа или лапласиан, а fвещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:


\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме \nabla^2 и уравнение Пуассона принимает вид:

{\nabla}^2 \varphi = f.

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

\Delta \varphi = 0.

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

Электростатика[править | править исходный текст]

Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Нахождение φ для данного f — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:

{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \varepsilon_0},

где  \Phi \! — электростатический потенциал (в вольтах),  \rho \! — объёмная плотность зарядакулонах на кубический метр), а  \varepsilon_0 \!диэлектрическая проницаемость вакуумафарадах на метр).

В единицах системы СГС:

{\nabla}^2 \Phi = - {4 \pi \rho}

В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем:

\rho = 0, \,

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

{\nabla}^2 \Phi = 0.

Потенциал точечного заряда[править | править исходный текст]

Потенциал, источником которого служит точечный заряд,

\Phi_q =
{ 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ q \over r }

- то есть кулоновский потенциал - есть по сути (а строго говоря при q = 1) функция Грина

\Phi_1 (x,y,z) =
{ 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ 1 \over r }

для уравнения Пуассона,

то есть решение уравнения

\Delta \Phi = - { 1 \over \varepsilon_0 }\delta(x)\delta(y)\delta(z)\

где \delta(x) - обозначение дельта-функции Дирака, а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

\Phi (x,y,z)
= \int \rho(\xi,\eta,\zeta) \Phi_1(x-\xi,y-\eta,z-\zeta) d\xi d\eta d\zeta =
= \int 
{ 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }
{ \rho(\xi,\eta,\zeta)
\over
\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2}} d\xi d\eta d\zeta.
  • Здесь мы имеем в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье Функция Грина.
  • Физический смысл последней формулы - применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов \rho dV.

Потенциал гауссовой объёмной плотности заряда[править | править исходный текст]

Если мы имеем объёмную сферически симметричную плотность гауссового распределения заряда  \rho(r) :

 \rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},

где Q — общий заряд, тогда решение Φ (r) уравнения Пуассона:

{\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \varepsilon_0 }

даётся:

 \Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)

где erf(x) — функция ошибок. Это решение может быть проверено напрямую вычислением {\nabla}^2 \Phi. Заметьте, что для r, много больших, чем σ, erf(x) приближается к единице, и потенциал Φ (r) приближается к потенциалу точечного заряда  { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } {Q \over  r} , как и можно было ожидать.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9