Уравнение Риккати

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Риккати (итал. Equazione di Riccati) — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

\frac{dx}{dt} = a(t)x^2 + b(t)x + c(t). \quad (*)

Уравнением Риккати называют также многомерный аналог (*), то есть систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимыми переменными x_1, \ldots, x_n, правые части которых являются многочленами второй степени от переменных x_1, \ldots, x_n с зависящими от t коэффициентами. Одномерные и многомерные уравнения Риккати находят применения в различных областях математики: алгебраической геометрии,[1] теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем,[2] вариационном исчислении,[3] теории конформных отображений, квантовой теории поля.[4]

История[править | править исходный текст]

Частный случай такого уравнения:

b\frac{dx}{dt} = x^2 + at^{\alpha}, \quad (**)

где \alpha,\, a,\, b\neq 0 — постоянные, впервые был исследован итальянскими математиками Якопо Франческо Риккати и семейством Бернулли (Даниил, Иоганн, Николай старший и Николай младший).[5] [6] [7] Ими было найдено условие, при котором это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрирование в квадратурах: \alpha = {4n}/{(1-2n)}, \ n \in \mathbb{N},\, или \alpha=-2.\, Как доказал Жозеф Лиувилль (1841), при других значениях \alpha решение уравнения (**) нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций.

Уравнение вида (*) часто называют общим уравнением Риккати, а уравнение вида (**) — специальным уравнением Риккати.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Уравнение Риккати (*) в случае a(t)=0 является линейным и интегрируется в квадратурах.
  • Уравнение Риккати (*) в случае c(t)=0 является уравнением Бернулли и интегрируется в квадратурах с помощью замены y=1/x.
  • Общее решение уравнения Риккати (*) является дробно-линейной функцией от постоянной интегрирования, и обратно, любое дифференциальное уравнение первого порядка, обладающее этим свойством, является уравнением (*).
  • Если x_1(t), \ldots, x_4(t) — частные решения уравнения Риккати (*), соответствующие значениям c_1, \ldots, c_4 постоянной интегрирования, то имеет место тождество
\frac{x_3(t)-x_1(t)}{x_3(t)-x_2(t)} : \frac{x_4(t)-x_1(t)}{x_4(t)-x_2(t)} \equiv \frac{c_3-c_1}{c_3-c_2} : \frac{c_4-c_1}{c_4-c_2}. \quad (***)
  • Левая часть тождества (***) — двойное отношение четырёх частных решений — является первым интегралом уравнения Риккати (*). Таким образом, общее решение уравнения (*) восстанавливается из трёх независимых частных решений по формуле (***).

Обобщение[править | править исходный текст]

Матричным уравнением Риккати называется дифференциальное уравнение

\frac{dX}{dt} = XA(t)X + B_1(t)X + XB_2(t) + C(t)

относительно неизвестной квадратной матрицы X=(x_{ij}) порядка n, в котором A,B_1,B_2,C — заданные квадратные матрицы порядка n с зависящими от переменной t коэффициентами.

В вариационном исчислении большую роль играет матричное уравнение Риккати вида

\frac{dW}{dt} = (R(t)+W) \cdot P^{-1}(t)\cdot (R^*(t)+W) - Q(t)

относительно неизвестной квадратной матрицы W=(w_{ij}) порядка n, в котором P,Q,R — заданные квадратные матрицы порядка n с зависящими от переменной t коэффициентами, причем \det P\neq 0, звёздочка означает транспонирование. Оно тесно связано с уравнением Якоби для второй вариации интегрального функционала

J=\int f(t,x,\dot x) \,dt, \quad x = (x_1, \ldots, x_n),

в стационарной точке \widehat x(\cdot). При этом матрицы

P(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial \dot x_i \partial \dot x_j}\Bigr) \Bigl|_{\widehat x(t)}, \ \,
Q(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\Bigr)\Bigl|_{\widehat x(t)}, \ \,
R(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial \dot x_j}\Bigr)\Bigl|_{\widehat x(t)}.

Литература[править | править исходный текст]

  • Лауфер М. Я. О решении уравнений Риккати // Лауфер М. Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей.— Северодвинск: НТО кораблестроителей им. акад. А. Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. фонда, 2005.— стр. 137—140.— ISBN 5-7723-0605-9.

Ссылки[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Wilczinski E. J. Projective Differential Geometry of Curves and Ruled Surfaces. Teubner, Leipzig, 1906.
  2. Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система.
  3. Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
  4. Winternitz P. Lie groups and solutions of nonlinear partial differential equations. Lecture Notes in Physics, 1983, vol. 189, pp. 263—331.
  5. Riccati J. F. Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Supplementa 8.
  6. Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (V. 4). Leipzig, 1901.
  7. Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati — Nicola 2 Bernulli. J. Riccati e la Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Firence, 1992.