Уравнение Саха

Ионизационное уравнение Саха или просто уравнение Саха, известное также как уравнение Саха — Ленгмюра, было выведено Эггертом в 1919 году для недр звезд, а в 1920 году применено индийским астрофизиком Мегнадом Саха для фотосферы. Оно позволило объяснить спектральную последовательность звезд (за что и было названо в честь Саха). Независимо Ирвингом Ленгмюром оно было получено в 1923 году. Важнейшее применение это уравнение получило в теории звездных атмосфер и разработке спектральной классификации звёзд. В этом уравнении объединены идеи квантовой и статистической механики.

При повышении температуры газа кинетическая энергия составляющих его атомов становится столь высокой, что при столкновении друг с другом атомы начинают терять электроны, то есть начинается процесс ионизации. Такое состояние вещества в физике называется плазмой. Если газ полностью ионизован, то говорят о полностью ионизованной плазме, если же одни атомы ионизованы, а другие остались нейтральными, то говорят о частично ионизованной плазме. Уравнение Саха описывает степень ионизации такой плазмы как функции температуры, давления и энергии ионизации атомов. Уравнение Саха применимо для равновесной плазмы. Для газа, состоящего из атомов одного сорта уравнение Саха можно записать в виде:

$\frac{n_{i+1}n_e}{n_i} = \frac{2}{\Lambda^3}\frac{u_{i+1}}{u_i}\exp\left[-\frac{(\varepsilon_{i+1}-\varepsilon_i)}{k_BT}\right],$

где

• $n_i\,$ — концентрация атомов в $i$-й степени ионизации; $i$ — число недостающих электронов.
• $n_e\,$ — концентрация электронов
• $\varepsilon_i\,$ — энергия, необходимая для удаления $i$ электронов из нейтрального атома, то есть для создания атома $i$-й степени ионизации.
• $u_i\,$ — статистическая сумма:

$u_i = \sum_n^z g_n(i)e^{\frac{E_n}{k_BT}}$

• • $g_n(i)\,$ — статистический вес уровня $n$ $i$-кратного иона.
  • $T\,$ — температура газа
  • $k_B\,$ — постоянная Больцмана
• $\Lambda \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\frac{h^2}{2\pi m_ek_BT}}$
  • $m_e\,$ — масса электрона
  • $h\,$ — постоянная Планка

В случае, когда существуют только однократно ионизованные атомы уравнение упрощается: $n_1=n_e$, тогда полная плотность $n$ можно ввести как $n=n_0+n_1$. Уравнение Саха можно представить в виде:

$\frac{n_e^2}{n-n_e} = \frac{2}{\Lambda^3}\frac{g_1}{g_0}\exp\left[-\frac{\varepsilon}{k_BT}\right]$,

где $\varepsilon$ — энергия ионизации.

В астрофизике используется следующая форма для уравнения Саха:

$\frac{n^+}{n}P_e = \frac{2u_1}{u_0}\frac{\left(2 \pi m_e\right)^{3/2}}{h^3}\left(k_BT\right)^{5/2}e^{-\frac{\varepsilon}{k_BT}},$

где $P_e\,$ — давление электронов.

Ссылки

• A detailed derivation from University of Utah Physics Department
• Lecture notes from University of Maryland Department of Astronomy
• Saha, Megh Nad; On a Physical Theory of Stellar Spectra, Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Volume 99, Issue 697 (May 1921), pp. 135–153
• Langmuir, Irving; and Kingdon, Kenneth H.; The Removal of Thorium from the Surface of a Thoriated Tungsten Filament by Positive Ion Bombardment, Physical Review, Vol. 22, No. 2 (August 1923), pp. 148–160