Уравнение Фоккера — Планка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Эволюция функции плотности вероятности согласно уравнению Фоккера — Планка.

Уравнение Фоккера — Планка  — одно из дифференциальных уравнений в частных производных, описывает временну́ю эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц в процессах, где важна стохастическая природа явления. Названо в честь нидерландского и немецкого физиков Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова. Может быть обобщено на другие измеримые параметры (размер (в теории коалесценции), масса и т. д.).

Определение[править | править вики-текст]

Впервые уравнение было использовано для статистического описания броуновского движения частиц в воде. Хотя броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены численно методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики, задачу в такой постановке часто трудно решить аналитически. И, вместо сложных численных схем, можно ввести функцию плотности вероятности W(\mathbf{v},\;t), описывающую вероятность того, что частица имеет скорость в интервале (\mathbf{v},\;\mathbf{v}+d\mathbf{v}), если в момент времени 0 она имела начальную скорость \mathbf{v}_0, и записать для W(\mathbf{v},\;t) уравнения Фоккера — Планка.

Общая форма уравнения Фоккера — Планка для N переменных:

\frac{\partial W}{\partial t}=\left[-\sum_{i=1}^N\frac{\partial}{\partial x_i}D_i^1(x_1,\;\ldots,\;x_N)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}D_{ij}^2(x_1,\;\ldots,\;x_N)\right]W,

где D^1 — вектор сноса и D^2 — тензор диффузии, причём диффузия вызвана действием сил стохастической природы.

Связь со стохастическими дифференциальными уравнениями[править | править вики-текст]

Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для расчёта плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение

d\mathbf{X}_t=\boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,\;t)\,dt+\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,\;t)\,d\mathbf{B}_t,

где \mathbf{X}_t\in\R^N — функция состояния системы, а \mathbf{B}_t\in\R^M — стандартное N-мерное броуновское движение. Если начальное распределение задано как \mathbf{X}_0\sim W(\mathbf{x},\;0), то плотность вероятности W(\mathbf{x},\;t) состояния системы \mathbf{X}_t является решением уравнения Фоккера — Планка со следующими выражениями для сноса и диффузии соответственно:

D^1_i(\mathbf{x},\;t)=\mu_i(\mathbf{x},\;t),
D^2_{ij}(\mathbf{x},\;t)=\frac{1}{2}\sum_k\sigma_{ik}(\mathbf{x},\;t)\sigma_{jk}(\mathbf{x},\;t).

Пример[править | править вики-текст]

Стандартное скалярное уравнение броуновского движения генерируется следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

\mathrm{d}X_t=\mathrm{d}B_t.\

Здесь скорость сноса равна нулю и коэффициент диффузии равен 1/2, следовательно, соответствующее уравнение Фоккера — Планка выглядит так:

\frac{\partial W(x,\;t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial^2 W(x,\;t)}{\partial x^2},

это простейшая форма одномерного уравнения диффузии (теплопереноса).

Уравнение Фоккера — Планка в одномерном случае[править | править вики-текст]

В одномерном случае УФП приобретает вид:

\frac{\partial f}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial x}(A(x,\;t)f(x,\;t))+\frac{\partial^2}{2\partial x^2}(B(x,\;t)f(x,\;t)).

УФП справедливо для условной плотности вероятности:

f(x,\;t)=p(x,\;t|x_0,\;t_0), (то есть значение функции f(x,\;t) вероятностно попадает в плоскость, образованную пространственной осью x\ и временно́й осью t\ , в интервалы x-x_0\ и t-t_0\ соответственно) при любом начальном значении x_0\ и t_0\ и начальном условии p(x,\;t_0|x_0,\;t_0)=\delta(x-x_0), где \delta(x-x_0)\  — функция Дирака.

Это условие гласит, что в один и тот же момент времени t_0\ функция претерпевает скачок. Если пространственные координаты равны, то функция устремляется в бесконечность. Поэтому, в силу ограниченности функции, необходимо использовать определение единовременной плотности вероятности p(x,\;t)=\int p(x,\;t;\;x_0,\;t_0)\,dx_0=\int p(x,\;t|x_0,\;t_0)p(x_0,t_0)\,dx_0. Тогда, УФП справедливо для вероятности p(x,\;t) с начальным условием p(x,\;t)|_{t=t_0}=p(x,\;t_0), которое менее сингулярно, чем p(x,\;t_0|x_0,\;t_0)=\delta(x-x_0). Стохастический процесс, описываемый условной вероятностью, удовлетворяющий УФП, эквивалентен СДУ Ито

dx(t)=A(x(t),\;t)\,dt+\sqrt{B(x(t),\;t)}\,dW(t)

и что эти два описания должны рассматриваться как взаимно дополняющие друг друга.

Вывод[править | править вики-текст]

Первый согласованный вывод уравнения Фоккера — Планка на основе точной микроскопической динамики для классических и квантовых систем выполнен[1] Н. Н. Боголюбовым и Н. М. Крыловым[2] (переиздано в[3]).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Боголюбов Н. Н. (мл.), Санкович Д. П. (1993). Николай Николаевич Боголюбов. Очерк научной деятельности // Физика элементарных частиц и атомного ядра 24(5): 1224—1293.
  2. Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М. (1939). Об уравнениях Фоккера — Планка, которые выводятся в теории возмущений методом, основанным на спектральных свойствах возмущённого гамильтониана // Записки кафедры математической физики Института нелинейной механики АН УССР. 4: 5—80  (укр.).
  3. Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов в 12 томах. — Том 5: Неравновесная статистическая механика, 1939—1980. — М.: Наука, 2006. — ISBN 5-02-034142-8.

Литература[править | править вики-текст]

  • Risken H. The Fokker — Planck Equation: Methods of Solutions and Applications. — 2nd ed. — Springer, 1984. — 452 p. — ISBN 3-540-61530-X.
  • Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979. — 528 с. — («Теоретическая физика», том X). — 50 000 экз.