Уравнение Фридмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Космология
Ilc 9yr moll4096.png
Изучаемые объекты и процессы
Наблюдаемые процессы
Теоретические изыскания

В космологии, Уравнение Фридмана — это уравнение, описывающее развитие во времени однородной и изотропной вселенной (вселенной Фридмана) в рамках общей теории относительности. Названо по имени Александра Фридмана, который первым вывел это уравнение в 1922 году.

Уравнение Фридмана[править | править исходный текст]

Уравнение Фридмана записывается для метрики Фридмана — синхронной метрики однородного изотропного пространства (пространства постоянной кривизны),


ds^2 = dt^2 - a(t)^2 dl^2 \,,

где dl^2 — пространственный элемент длины в пространстве постоянной кривизны, a(t) — масштаб (“размер”) вселенной.

Геометрически, пространство постоянной кривизны может быть трёх видов --- сфера (закрытое), псевдосфера (открытое), и плоское пространство.

Закрытая (конечная) вселенная с положительной кривизной пространства[править | править исходный текст]

Для закрытой вселенной метрика Фридмана равна


ds^{2} =  a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} -\sin^{2}\chi (d\theta^{2}
+\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,,

где r=a\cdot\sin\chi, \chi\in[0,\pi]; \theta,\,\phi – сферические углы; \eta – масштабированное время, ad\eta=dt.

Компоненты тензора Риччи для этой метрики равны


R^{\chi}_{\chi} = R^{\theta}_{\theta} = R^{\phi}_{\phi} = 
-\frac{1}{a^{4}}(2a^{2}+a'^{2}+aa'')\;,

R^{\eta}_{\eta} = \frac{3}{a^{4}}(a'^{2}-aa'')\;,

R = -\frac{6}{a^{3}}(a+a'')\;,

где штрих означает дифференцирование по \eta.

Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса равен


T_{ab}=(\epsilon + p)u_{a}u_{b} - pg_{ab}

где \epsilon плотность энергии, p -- давление. В синхронных координатах материя находится в состоянии покоя, поэтому 4-скорость равна u^a=\{\frac{1}{a(t)},0,0,0\}.

Временная компонента уравнения Эйнштейна,


R^{\eta}_{\eta}-\frac{1}{2}R = \kappa{}T^{\eta}_{\eta} \,,

с указанным тензором Риччи и тензором энергии-импульса и является уравнением Фридмана,


\frac{3}{a^{4}}(a^{2}+a'^{2}) = \kappa\epsilon \,.

Если связь плотности энергии \epsilon и давления p (уравнение состояния) известна, то можно найти зависимость плотности энергии от масштаба вселенной a, используя уравнение сохранения энергии


d\epsilon=-(\epsilon + p)\frac{3da}{a}\,.

В этом случае можно выразить решение уравнения Фридмана в виде интеграла,


\eta = \pm \int \frac{da}{a\sqrt{\frac{1}{3}\kappa\epsilon a^2-1}}\,.

Открытая (бесконечная) вселенная с отрицательной кривизной пространства[править | править исходный текст]

Для открытой вселенной метрика Фридмана равна


ds^{2} =  a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} -\sinh^{2}\chi (d\theta^{2}
+\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,,

где r=a\cdot\sinh\chi, \chi\in[0,\infty]; \theta,\,\phi – сферические углы; \eta – масштабированное время, ad\eta=dt.

Очевидно, эта метрика получается из метрики закрытой вселенной подстановкой \{a,\eta,\chi\}\to\{ia,i\eta,i\chi\}.

Соответственно уравнение Фридмана для открытой вселенной есть


\frac{3}{a^{4}}(-a^{2}+a'^{2}) = \kappa\epsilon \,.

Открытая (бесконечная) и плоская вселенная[править | править исходный текст]

Для плоской вселенной метрика Фридмана равна


ds^{2} =  a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} - \chi^{2} (d\theta^{2}
+\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,,

где r=a\chi, \chi\in[0,\infty]; \theta,\,\phi – сферические углы; \eta – масштабированное время, ad\eta=dt.

Очевидно, эта метрика формально получается из метрики закрытой вселенной в пределе r \ll a \to \infty.

Замечая, что a'/a^2=\dot a/a, где \dot a \equiv da/dt, уравнение Фридмана для плоской вселенной получается в указанном пределе как


3\frac{{\dot a}^2}{a^{2}} = \kappa\epsilon \,.

Решения уравнения Фридмана[править | править исходный текст]

Уравнение Фридмана может быть проинтегрировано аналитически для двух важных предельных случаев -- вселенной, заполненной пылью; и вселенной, заполненной излучением.