Уравнение Фридмана

Космология

Изучаемые объекты и процессы

Вселенная Наблюдаемая Вселенная Возраст Вселенной Крупномасштабная структура Вселенной Формирование структуры Реликтовое излучение Тёмная энергия Скрытая масса

Наблюдаемые процессы

Космологическое красное смещение Расширение Вселенной Формирование галактик Закон Хаббла Нуклеосинтез

Теоретические изыскания

Космологические модели Космическая инфляция Большой взрыв Хронология Большого взрыва Вселенная Фридмана Сопутствующее расстояние Модель Лямбда-CDM‎ Космологический принцип Космологическое уравнение состояния Критическая плотность Хронология космологии

В космологии, Уравнение Фридмана — это уравнение, описывающее развитие во времени однородной и изотропной вселенной (вселенной Фридмана) в рамках общей теории относительности. Названо по имени Александра Фридмана, который первым вывел это уравнение в 1922 году.

Уравнение Фридмана

Уравнение Фридмана записывается для метрики Фридмана — синхронной метрики однородного изотропного пространства (пространства постоянной кривизны),

$ds^2 = dt^2 - a(t)^2 dl^2 \,,$

где $dl^2$ — пространственный элемент длины в пространстве постоянной кривизны, $a(t)$ — масштаб (“размер”) вселенной.

Геометрически, пространство постоянной кривизны может быть трёх видов --- сфера (закрытое), псевдосфера (открытое), и плоское пространство.

Закрытая (конечная) вселенная с положительной кривизной пространства

Для закрытой вселенной метрика Фридмана равна

$ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} -\sin^{2}\chi (d\theta^{2} +\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,,$

где $r=a\cdot\sin\chi$, $\chi\in[0,\pi]$; $\theta,\,\phi$ – сферические углы; $\eta$ – масштабированное время, $ad\eta=dt$.

Компоненты тензора Риччи для этой метрики равны

$R^{\chi}_{\chi} = R^{\theta}_{\theta} = R^{\phi}_{\phi} = -\frac{1}{a^{4}}(2a^{2}+a'^{2}+aa'')\;,$

$R^{\eta}_{\eta} = \frac{3}{a^{4}}(a'^{2}-aa'')\;,$

$R = -\frac{6}{a^{3}}(a+a'')\;,$

где штрих означает дифференцирование по $\eta$.

Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса равен

$T_{ab}=(\epsilon + p)u_{a}u_{b} - pg_{ab}$

где $\epsilon$ плотность энергии, $p$ -- давление. В синхронных координатах материя находится в состоянии покоя, поэтому 4-скорость равна $u^a=\{\frac{1}{a(t)},0,0,0\}$.

Временная компонента уравнения Эйнштейна,

$R^{\eta}_{\eta}-\frac{1}{2}R = \kappa{}T^{\eta}_{\eta} \,,$

с указанным тензором Риччи и тензором энергии-импульса и является уравнением Фридмана,

$\frac{3}{a^{4}}(a^{2}+a'^{2}) = \kappa\epsilon \,.$

Если связь плотности энергии $\epsilon$ и давления $p$ (уравнение состояния) известна, то можно найти зависимость плотности энергии от масштаба вселенной $a$, используя уравнение сохранения энергии

$d\epsilon=-(\epsilon + p)\frac{3da}{a}\,.$

В этом случае можно выразить решение уравнения Фридмана в виде интеграла,

$\eta = \pm \int \frac{da}{a\sqrt{\frac{1}{3}\kappa\epsilon a^2-1}}\,.$

Открытая (бесконечная) вселенная с отрицательной кривизной пространства

Для открытой вселенной метрика Фридмана равна

$ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} -\sinh^{2}\chi (d\theta^{2} +\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,,$

где $r=a\cdot\sinh\chi$, $\chi\in[0,\infty]$; $\theta,\,\phi$ – сферические углы; $\eta$ – масштабированное время, $ad\eta=dt$.

Очевидно, эта метрика получается из метрики закрытой вселенной подстановкой $\{a,\eta,\chi\}\to\{ia,i\eta,i\chi\}$.

Соответственно уравнение Фридмана для открытой вселенной есть

$\frac{3}{a^{4}}(-a^{2}+a'^{2}) = \kappa\epsilon \,.$

Открытая (бесконечная) и плоская вселенная

Для плоской вселенной метрика Фридмана равна

$ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} - \chi^{2} (d\theta^{2} +\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,,$

где $r=a\chi$, $\chi\in[0,\infty]$; $\theta,\,\phi$ – сферические углы; $\eta$ – масштабированное время, $ad\eta=dt$.

Очевидно, эта метрика формально получается из метрики закрытой вселенной в пределе $r \ll a \to \infty$.

Замечая, что $a'/a^2=\dot a/a$, где $\dot a \equiv da/dt$, уравнение Фридмана для плоской вселенной получается в указанном пределе как

$3\frac{{\dot a}^2}{a^{2}} = \kappa\epsilon \,.$

Решения уравнения Фридмана

Уравнение Фридмана может быть проинтегрировано аналитически для двух важных предельных случаев -- вселенной, заполненной пылью; и вселенной, заполненной излучением.