Уравнение Эйлера — Лагранжа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом стационарности действия, используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в нуль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов — функций бесконечномерного аргумента.

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

Утверждение[править | править вики-текст]

Пусть задан функционал

 J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x))\, dx.

с подынтегральной функцией \! F (x, f (x), f' (x)), обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом, где через f' обозначена первая производная f по x. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции \! f, то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

  \frac {\partial F} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial F} {\partial f'} = 0,

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

Примеры[править | править вики-текст]

Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа. Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты \! (a, c) и \! (b, d). Тогда длина пути \! y(x), соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

 L = \int\limits_a^b \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} dx.

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:

 \frac d {dx} \frac {\partial} {\partial y'} \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} = 0,

откуда получаем, что

 \frac {dy} {dx} = C  \Rightarrow  y = Cx + D.

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что \! y(a) = c, \! y(b) = d, т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок, соединяющий точки.

Многомерные вариации[править | править вики-текст]

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.

  • Если q(t) — путь в n-мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу
 J = \int\limits_{t1}^{t2} L(t, q(t), q'(t))\, dt

только если удовлетворяет условию

 \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial q'_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0  \forall k = 1, 2, \dots n

В физических приложениях когда \! L является лагранжианом (имеется в виду лагранжиан некоторой физической системы; то есть если J — действие для этой системы), эти уравнения — суть (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случай бесконечномерного q.

  • Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции n переменных. Если \! \Omega — какая-либо, в данном случае n-мерная, поверхность, то
 J = \int\limits_{\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, d\Omega ,

где x_i = x_1, x_2, x_3,\dots, x_n — независимые координаты, f = f(x_1, x_2, x_3,\dots, x_n), f_{x_i} \equiv \frac{\partial f}{\partial x_i},

доставляет экстремум если только f удовлетворяет уравнению в частных производных

 \frac{\partial L}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial f_{x_i}} = 0.

Если n = 2 и L — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

  • Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны и т.п.

В частности, вместо статического уравнения равновесия мыльной пленки, приведенного в качестве примера в предыдущем пункте, имеем в этом случае динамическое уравнение движения такой пленки (если, конечно, нам удалось изначально записать для нее действие, то есть кинетическую и потенциальную энергию).

История[править | править вики-текст]

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин придумал Эйлер в 1766 году).

Доказательство[править | править вики-текст]

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию \! f, которая удовлетворяет граничным условиям \! f(a)=c, \! f(b)=d и доставляет экстремум функционалу

 J = \int\limits_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx.

Предположим, что \! F имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если \! f даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение \! f, которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение \! J (если \! f минимизирует его) или уменьшать \! J (если \! f максимизирует).

Пусть \! \eta(x) — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию \! \eta(a)=\eta(b)=0. Определим

 J(\varepsilon) = \int\limits_a^b F(x,f(x) + \varepsilon \eta(x), f'(x) + \varepsilon \eta'(x))\, dx.

Поскольку \! f даёт экстремум для \! J(0), то \! J'(0)=0, то есть

 J'(0) = \int\limits_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]\,dx = 0.

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

 0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b.

Используя граничные условия на \! \eta, получим

 0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx.

Отсюда, так как \! \eta(x) — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

 \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}=0.

Если не вводить граничные условия на \! \eta(x), то также требуются условия трансверсальности:

\frac{\partial F}{\partial f'}(a)=0
\frac{\partial F}{\partial f'}(b)=0

Обобщение на случай с высшими производными[править | править вики-текст]

Лагранжиан может также зависеть и от производных f порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

 J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x), f''(x),...,f^{(n)}(x))\, dx.

Если наложить граничные условия на f и на её производные до порядка n-1 включительно, а также предположить, что F имеет непрерывные первые производные, то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести аналог уравнения Эйлера-Лагранжа и для этого случая:

 \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}+\frac{d^2}{dx^2} \frac{\partial F}{\partial f''}-\cdots+(-1)^n \frac{d^n}{dx^n} \frac{\partial F}{\partial f^{(n)}} = 0 .

Это уравнение часто называют уравнением Эйлера — Пуассона.

Два лагранжиана, отличающеся на полную производную, дадут одни и те же дифференциальные уравнения, однако максимальный порядок производных в этих лагранжианах может быть различный. Например, L_1=(f^\prime(x))^2~,~L_2=-f(x)f^{\prime\prime}(x)~,~L_1-L_2=\frac{d}{dx}(f(x)f^\prime(x)). Чтобы получить дифференциальное уравнение на экстремум, к L_1 достаточно применить «обычное» уравнение Эйлера — Лагранжа, а для L_2, поскольку он зависит от второй производной, нужно использовать уравнение Эйлера — Пуассона с соответствующим слагаемым:

  \frac {\partial L_1} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial L_1} {\partial f'} = -2 f^{\prime\prime}(x),
  \frac {\partial L_2} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial L_2} {\partial f'} + \frac {d^2} {dx^2} \frac {\partial L_2} {\partial f^{\prime\prime}}= -2 f^{\prime\prime}(x),

и в обоих случаях получится одно и то же дифференциальное уравнение -2 f^{\prime\prime}(x)=0 .

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
  • Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
  • Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
  • Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, — УРСС, Москва, 2004.

Ссылки[править | править вики-текст]