Уравнение Янга — Бакстера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Янга — Бакстера — уравнение, относящееся к классу точно решаемых задач. Имеет вид локальных преобразований эквивалентности, которые появляются в самых разнообразных случаях, таких как электрические цепи, теория узлов и теория кос, спиновые системы. Получило своё имя от независимых работ Ч. Н. Янга 1968 г. и Р. Д. Бакстера 1971 г. по статистической механике.

Зависимое от параметров уравнение Янга — Бакстера[править | править вики-текст]

Обозначим через A ассоциативную алгебру с единицей. Зависимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для R(u), зависимый от параметра обратимый элемент тензорного произведения алгебр A \otimes A (здесь u — параметр, который обычно изменяется по всем вещественным числам в случае аддитивного параметра, или по всем положительным вещественным числам в случае мультипликативного параметра). В случае аддитивного параметра, уравнение Янга — Бакстера является функциональным уравнением

 R _ {12} (u) \ R _ {13} (u+v) \ R _ {23} (v) = R _ {23} (v) \ R _ {13} (u+v) \ R _ {12} (u),

на функцию R, в которую указанным образом подставлены две переменные  u и  v . При некоторых u  R (u) может превратиться в одномерный проектор, это приводит к квантовому детерминанту. Для мультипликативного параметра уравнение Янга — Бакстера имеет вид

 R _ {12} (u) \ R _ {13} (uv) \ R _ {23} (v) = R _ {23} (v) \ R _ {13} (uv) \ R _ {12} (u),

на функцию R, где  R _ {12} (w) = \phi _ {12} (R (w)) ,  R _ {13} (w) = \phi _ {13} (R (w)) , и  R _ {23} (w) = \phi _ {23} (R (w)) , для всех величин параметра  w , и  \phi _ {12}: A \otimes A \to A \otimes A \otimes A ,  \phi _ {13}: A \otimes A \to A \otimes A \otimes A , и  \phi _ {23}: A \otimes A \to A \otimes A \otimes  A , являются морфизмами алгебры, определёнными как

 \phi _ {12} (a \otimes b) = a \otimes b \otimes 1,
 \phi _ {13} (a \otimes b) = a \otimes 1 \otimes b,
 \phi _ {23} (a \otimes b) = 1 \otimes a \otimes b.

В некоторых случаях детерминант[неоднозначно]  R (u) может обнулиться при определённых величинах спектрального параметра  u = u_0 , и иногда  R (u) даже превращается в одномерный проектор. В этом случае может быть определён квантовый детерминант.

Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера[править | править вики-текст]

Обозначим через A ассоциативную алгебру с единицей. Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для  R , обратимого элемента тензорного произведения алгебр A \otimes A. Уравнение Янга — Бакстера имеет вид

 R _ {12} \ R _ {13} \ R _ {23} = R _ {23} \ R _ {13} \ R _ {12},

где  R _ {12} = \phi _ {12} (R) ,  R _ {13} = \phi _ {13} (R) , и  R _ {23} = \phi _ {23} (R) .

Пусть  V  — модуль над A. Пусть  T : V \otimes V \to V \otimes V линейная карта, удовлетворяющая  T (x \otimes y) = y \otimes x для всей  x, y \in V . Тогда представление группы кос,  B_n , может быть построено на  V^{\otimes n}  \sigma_i = 1^{\otimes i-1} \otimes \check {R} \otimes 1^{\otimes n-i-1} для  i = 1, \dots, n-1 , где  \check {R} = T \circ R на  V \otimes V . Это представление может использоваться, чтобы определить квазиинварианты кос, узлов.

Литература[править | править вики-текст]

  • H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989, Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9.
  • Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.
  • Jacques H.H. Perk and Helen Au-Yang, "Yang–Baxter Equations", (2006), arΧivmath-ph/0606053.
  • Манин Ю. И. Введение в теорию схем и квантовые группы. — М.: МЦНМО, 2012. — 256 с. — ISBN 978-5-94057-635-8.