Уравнение непрерывности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Механика сплошных сред
BernoullisLawDerivationDiagram.svg
Сплошная среда
См. также: Портал:Физика

Ниже приведены примеры уравнений непрерывности, которые выражают одинаковую идею непрерывного изменения некоторой величины. Уравнения непрерывности — (сильная) локальная форма законов сохранения.

Дифференциальная форма[править | править вики-текст]

Дифференциальная форма общего уравнения непрерывности такова:

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = \sigma\,

где

  • ∇• — дивергенция,
  • t — время,
  • j — плотность потока (см. ниже),
  • σ — добавление q на единицу объёма в единицу времени. Члены, которые добавляют (σ > 0) или удаляют (σ < 0) q, называются «источниками» и «стоками» соответственно.

Это общее уравнение может быть использовано для вывода любого уравнения непрерывности, начиная с простого уравнения неразрывности и до уравнения Навье-Стокса.

Если q — сохраняющаяся величина, которая не может быть создана или уничтожена (например, энергия), тогда σ = 0, и уравнение непрерывности принимает вид:

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\,

Электромагнетизм[править | править вики-текст]

В электродинамике уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла. Оно утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус,

\operatorname{div}\mathbf{j} + {\partial \rho \over \partial t} = 0

Вывод[править | править вики-текст]

Закон Ампера гласит

 \operatorname{rot}\mathbf{H} = \mathbf{j} + {\partial \mathbf{D} \over \partial t}.

Взяв дивергенцию от обеих частей выражения, получим

\operatorname{div}\operatorname{rot}\mathbf{H}=\operatorname{div}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial t}\operatorname{div}\mathbf{D},

но дивергенция ротора равняется нулю, таким образом

\operatorname{div}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial t}\operatorname{div}\mathbf{D}=0

По теореме Гаусса

\operatorname{div}\mathbf{D} = \rho.\,

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получаем искомое уравнение непрерывности.

Интерпретация[править | править вики-текст]

Плотность тока — это движение зарядов. Уравнение непрерывности гласит, что если заряд уходит из дифференциального объёма (то есть дивергенция плотности тока положительна), тогда количество заряда внутри объёма уменьшается. В этом случае скорость изменения плотности заряда отрицательна.

Теория волн[править | править вики-текст]

В теории волн уравнение непрерывности выражает собой закон сохранения энергии в элементарном объёме, в котором распространяются волны любой природы. Его дифференциальная форма

\operatorname{div}\mathbf{j}+\frac{\partial w}{\partial t}=0

где \mathbf{j}=\mathbf{j}(x,y,z,t) — вектор плотности потока энергии в точке с координатами \left(x, y, z\right) в момент времени \,t, \,w=w(x,y,z,t) — плотность энергии.

Вывод[править | править вики-текст]

По определению, вектор плотности потока энергии — это вектор, модуль которого равен энергии, переносимой через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса энергии, за единицу времени, то есть j=\frac{dW}{dtdS_{\bot }}, а направление его совпадает с направлением переноса энергии. Тогда энергия, вытекающая в единицу времени из некоторого макроскопического объёма V,

\oint\limits_{S}{\mathbf{j}d\mathbf{S}}=\frac{dW_{out}}{dt}

По закону сохранения энергии \frac{dW_{out}}{dt}=-\frac{dW_{in}}{dt}, где W_{in} — энергия, находящаяся в объёме V. По определению, плотность энергии — энергия единицы объёма, тогда полная энергия, заключённая в данном объёме, равна

W_{in}=\int\limits_{V}{wdV}

Тогда выражение для потока энергии примет вид

\oint\limits_{S}{\mathbf{j}d\mathbf{S}}=-\frac{d}{dt}\int\limits_{V}{wdV}=-\int\limits_{V}{\frac{\partial w}{\partial t}dV}

Применяя формулу Гаусса-Остроградского к левой части выражения, получим

\int\limits_{V}{\operatorname{div}\mathbf{j}dV}=-\int\limits_{V}{\frac{\partial w}{\partial t}dV}

В силу произвольности выбранного объёма заключаем ,что подынтегральные выражения равны, откуда и получаем дифференциальную форму уравнения непрерывности.

Гидродинамика и механика деформируемого твёрдого тела[править | править вики-текст]

Варианты названия[править | править вики-текст]

В гидродинамической литературе, например в курсах Жуковского, Кочина, Лойцянского, уравнение непрерывности называют уравнением неразрывности, тогда как в физической литературе, например в курсе Ландау и Лифшица, русском переводе курса Фейнмана, используется термин уравнение непрерывности (в старой литературе встречалось также название уравнение сплошности).

Различные формы записи[править | править вики-текст]

Уравнение выражает собой закон сохранения массы в элементарном объёме, то есть связь пространственного изменения потока массы жидкости или газа и скорости изменения плотности со временем. Его дифференциальная форма

\frac{\partial \rho }{\partial t}+\operatorname{div}\rho \mathbf{v}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\rho \operatorname{div}\,\mathbf{v}+\mathbf{v}\operatorname{grad}\rho =0,

где \rho = \rho\left(x,y,z,t\right) — плотность жидкости (или газа), \mathbf{v}=\mathbf{v}\left( x,y,z,t \right) — вектор скорости жидкости (или газа) в точке с координатами \left(x, y, z\right) в момент времени \,t.

Вектор \mathbf{j}=\rho \mathbf{v} называют плотностью потока жидкости. Его направление совпадает с направлением течения жидкости, а абсолютная величина определяет количество вещества, протекающего в единицу времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно вектору скорости.

Для однородных несжимаемых жидкостей \,\rho = \operatorname{const}. Поэтому уравнение принимает вид

\operatorname{div}\,\mathbf{v}=0,

из чего следует соленоидальность поля скорости.

Для течений в каналах (течения в трубах, кровеносных сосудах и т.п.) уравнение неразрывности может быть записано в терминах средних значений по поперечному сечению канала. Например, для течения в канале с известной зависимостью площади поперечного сечения S от координаты x вдоль канала, S=S(x), уравнение неразрывности имеет вид

S\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(\rho v S)=0,

где \rho=\rho(x,t) и v=v(x,t) суть средние значения плотности и осевой проекции скорости по поперечному сечению. В частном случае стационарного течения отсюда получается уравнение неразрывности в виде

\rho v S=\mathrm{const},

имеющее очевидный физический смысл постоянства потока массы, а в случае среды с постоянной плотностью — уравнение

v S=\mathrm{const},

выражающее постоянство объемного расхода.

Аналогичную структуру имеет уравнение неразрывности для течений в каналах со свободной поверхностью, которое широко используется в гидравлике для описания русловых потоков (течения в реках, каналах и проч., движение селей, лавин и т.д.), для описания течений в плёнках и т.п. В простейшем случае течения жидкости с постоянной плотностью в канале с прямоугольным поперечным сечением уравнение неразрывности (иногда называемое уравнением Сен-Венана) имеет вид

\frac{\partial h}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(vh)=0,

где h=h(x,t) — глубина жидкости, v=v(x,t) — средняя скорость жидкости по поперечному сечению.

В механике деформируемого твердого тела часто удобно записывать уравнение неразрывности в форме связи между начальной и конечной плотностями материальной частицы[1]. Например, в случае малых деформаций уравнение неразрывности имеет вид

\rho=\rho_0(1-\operatorname{div}\,\mathbf{w}),

где \rho_0, \rho — соответственно начальная и конечная плотности материальной частицы, \mathbf{w} — вектор перемещения (в случае малых перемещений и деформаций с одинаковой степенью точности можно брать дивергенцию как по эйлеровым переменным, так и по лагранжевым).

Уравнение неразрывности имеет универсальный характер и справедливо для любой сплошной среды (вне зависимости от её реологии). Имеются обобщения уравнения неразрывности для движений многофазных[2] и многокомпонентых[1] сплошных сред.

Историческая справка[править | править вики-текст]

В частных случаях, например для осесимметрических течений, уравнение неразрывности (в виде дифференциального уравнения в частных производных) было впервые получено Д’Аламбером, в общем виде — Эйлером в 1750-х гг. В форме алгебраического соотношения, выражающего (для случая несжимаемой жидкости) постоянство объемного расхода вдоль трубки тока, уравнение неразрывности было впервые опубликовано Кастелли в первой половине XVII в.[3].

Квантовая механика[править | править вики-текст]

В нерелятивистской квантовой механике сохранение вероятности также приводит к уравнению непрерывности. Пусть P(xt) — плотность вероятности, тогда уравнение запишется в виде

\operatorname{div}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial t}P(x,t)=0

где j — ток вероятности.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 1. — 492 с.
  2. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. — М.: Наука, 1978. — 336 с.
  3. Некоторые обзорные работы и первоисточники по истории уравнений гидромеханики