Уравнение непрерывности
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Ниже приведены примеры уравнений непрерывности, которые выражают одинаковую идею непрерывного изменения некоторой величины. Уравнения непрерывности — (сильная) локальная форма законов сохранения.
Содержание |
[править] Электромагнетизм
В электродинамике уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла. Оно утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус,
[править] Вывод
Закон Ампера гласит
Взяв дивергенцию от обоих частей выражения, получим
,
но дивергенция ротора равняется нулю, таким образом
Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получаем искомое уравнение непрерывности.
[править] Интерпретация
Плотность тока — это движение зарядов. Уравнение непрерывности гласит, что если заряд уходит из дифференциального объёма (то есть дивергенция плотности тока положительна), тогда количество заряда внутри объёма уменьшается. В этом случае скорость изменения плотности заряда отрицательна.
[править] Теория волн
В теории волн уравнение непрерывности выражает собой закон сохранения энергии в элементарном объеме, в котором распространяются волны любой природы. Его дифференциальная форма
где 
— вектор плотности потока энергии в точке с координатами 
в момент времени 
, 
— плотность энергии.
[править] Вывод
По определению, вектор плотности потока энергии — это вектор, модуль которого равен энергии, переносимой через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса энергии, за единицу времени, т.е. 
, а направление его совпадает с направлением переноса энергии. Тогда энергия, вытекающая в единицу времени из некоторого макроскопического объема V,
По закону сохранения энергии 
, где Win — энергия, находящаяся в объеме V. По определению, плотность энергии — энегрия единицы объема, тогда полная энегрия, заключенная в данном объеме, равна
Тогда выражение для потока энергии примет вид
Применяя формулу Гаусса-Остроградского к левой части выражения, получим
В силу произвольности выбранного объема, заключаем что подынтегральные выражения равны, откуда и получаем дифференциальную форму уравнения непрерывности.
[править] Гидродинамика
В гидродинамике уравнение непрерывности, иногда называемое уравнением неразрывности, выражает собой закон сохранения массы в элементарном объеме, то есть непрерывность потока жидкости или газа. Его дифференциальная форма
,
где 
— плотность жидкости (или газа), 
— вектор скорости жидкости (или газа) в точке с координатами в момент времени .
Вектор 
называют плотностью потока жидкости. Его направление совпадает с направлением течения жидкости, а абсолютная величина определяет количество вещества, протекающего в единицу времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно вектору скорости.
Для несжимаемых жидкостей 
. Поэтому уравнение принимает вид
,
из чего следует соленоидальность поля скорости.
[править] Квантовая механика
В нерелятивистской квантовой механике сохранение вероятности также приводит к уравнению непрерывности. Пусть P(x, t) — плотность вероятности, тогда уравнение запишется в виде
где j — ток вероятности.
