Уравнение синус-Гордона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение синус-Гордона — это нелинейное гиперболическое уравнение в частных производных в 1 + 1 измерениях, включающее в себя оператор Даламбера и синус неизвестной функции. Изначально оно было рассмотрено в XIX веке в связи с изучением поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Это уравнение привлекло много внимания в 1970-х из-за наличия у него солитонных решений.

Происхождение уравнения и его названия[править | править вики-текст]

Существует две эквивалентные формы уравнения синус-Гордона. В (вещественных) координатах пространство-время, обозначенных (xt), уравнение имеет вид:

\, \varphi_{tt}- \varphi_{xx} + \sin\varphi = 0.

При переходе к координатам светового конуса (uv), близким к асимптотическим координатам, где

 u=\frac{x+t}2, \quad v=\frac{x-t}2,

уравнение принимает вид:

\varphi_{uv} = \sin\varphi.\,

Это исходная форма уравнения синус-Гордона, в которой оно было рассмотрено в XIX веке в связи с изучением поверхностей постоянной гауссовой кривизны K = −1, также называемых псевдосферами. Выберем систему координат, в которой координатная сетка u = constant, v = constant задаётся асимптотическими линиями, параметризованными длиной дуги. Первая квадратичная форма данной поверхности в таких координатах примет специальный вид:

 ds^2 = du^2 + 2\cos\varphi \,du\, dv + dv^2,\,

где φ — угол между асимптотическими линиями, и для второй квадратичной формы, L = N = 0. Тогда уравнение Петерсона ― Кодацци, отражающее условие совместимости между первой и второй квадратичными формами, приводит к уравнению синус-Гордона. Изучение этого уравнения и соответствующих преобразований псевдосфер в XIX веке Бьянки и Бэклундом привели к открытию преобразований Бэклунда. Название «уравнение синус-Гордона» каламбур на тему хорошо известного в физике уравнения Клейна-Гордона:

 \varphi_{tt}- \varphi_{xx} + \varphi\ = 0.\,

Уравнение синус-Гордона является уравнением Эйлера-Лагранжа для лагранжиана

\mathcal{L}_\text{sine–Gordon}(\varphi) := \frac{1}{2}(\varphi_t^2 - \varphi_x^2) -1 + \cos\varphi.

Используя разложение в ряд Тейлора косинуса

\cos(\varphi) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\varphi ^2)^n}{(2n)!}

в данном лагранжиане, он может быть записан как лагранжиан Клейна-Гордона плюс члены более высокого порядка


\begin{align}
\mathcal{L}_\text{sine–Gordon}(\varphi) & = \frac{1}{2}(\varphi_t^2 - \varphi_x^2) - \frac{\varphi^2}{2} + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-\varphi^2)^n}{(2n)!} \\
& = 2\mathcal{L}_\text{Klein–Gordon}(\varphi) + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-\varphi^2)^n}{(2n)!}.
\end{align}

Солитонные решения[править | править вики-текст]

Интересное свойство уравнения синус-Гордона — существование солитонных и многосолитонных решений.

Односолитонное решение[править | править вики-текст]

Уравнение синус-Гордона имеет следующие односолитонные решения:

\varphi_\text{soliton}(x, t) := 4 \arctan e^{m \gamma (x - v t) + \delta}\,

где

\gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2}.

односолитонное решение, для которого мы выбрали положительный корень для \gamma, называется кинк и представляет виток по переменной \varphi , который переводит одно решение \varphi=0 в смежное \varphi=2\pi. Состояния \varphi=0(\textrm{mod}2\pi) известны как вакуумные, так как они постоянные решения нулевой энергии. Односолитонное решение, в котором мы взяли отрицательный корень для \gamma, называется антикинк. Форма односолитонных решений может быть получена посредством применения преобразования Бэклунда к тривиальному (постоянному вакуумному) решению и интегрированию получившихся дифференциальных уравнений первого порядка:

{\varphi^\prime}_u = \varphi_u + 2\beta\sin\left(\frac{\varphi^\prime + \varphi}{2}\right),
{\varphi^\prime}_v = -\varphi_v + \frac{2}{\beta} \sin\left(\frac{\varphi^\prime - \varphi}{2}\right)\text{ with }\varphi = \varphi_0 = 0

Односолитонные решения могут быть визуализированы посредством синус-гордоновской модели упругой ленты.[1] Примем виток упругой ленты по часовой стрелке (левовинтовой) за кинк с топологическим зарядом \vartheta_{\textrm{K}}=-1. Альтернативный виток против часовой стрелки (правовинтовой) с топологическим зарядом \vartheta_{\textrm{AK}}=+1 будет антикинком.

Двухсолитонные решения[править | править вики-текст]

Многосолитонные решения могут быть получены посредством непрерывного применения преобразования Бэклунда к односолитонному решению, как предписывается решёткой Бьянки, соответствующей результатам преобразования.[2] 2-солитонные решения уравнения синус-Гордона проявляют некоторые характерные свойства солитонов. Бегущие синус-гордоновские кинки и/или антикинки проходят сквозь друг друга как полностью проницаемые, и единственный наблюдаемый эффект — фазовый сдвиг. Так как сталкивающиеся солитоны сохраняют свою скорость и форму, такой вид взаимодействия называется упругим столкновением.

Другие интересные двухсолитонные решения возникают из возможности спаренного кинк-антикинкового поведения, известного как бризер. Известно три типа бризеров: стоячий бризер, бегущий высокоамплитудный бризер и бегущий малоамплитудный бризер.[3]

Трёхсолитонные решения[править | править вики-текст]

Трёхсолитонные столкновения между бегущим кинком и стоячим бризером или бегущим антикинком и стоячим бризером приводят к фазовому сдвигу стоячего бризера. В процессе столкновения между движущимся кинком и стоячим бризером сдвиг последнего \Delta_{\textrm{B}} даётся соотношением:

\Delta_B =\frac{2\textrm{arctanh}\sqrt{(1-\omega^{2})(1-v_\text{K}^2)}}{\sqrt{1-\omega^{2}}}

где v_\text{K} — скорость кинка, а \omega — частота бризера.[3] Если координата стоячего бризера до столкновения — x_{0}, то после столкновения она станет x_0 + \Delta_\text{B}.

Связанные уравнения[править | править вики-текст]

Уранение шинус-Гордона[источник не указан 590 дней]:

\varphi_{xx}- \varphi_{tt} = \sinh\varphi.\,

Это уравнения Эйлера — Лагранжа для лагранжиана

\mathcal{L}={1\over 2}(\varphi_t^2 - \varphi_x^2) - \cosh\varphi.\,

Другое тесно связанное с уравнением синус-Гордона — это эллиптическое уравнение синус-Гордона:

\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = \sin\varphi,\,

где \varphi — функция переменных x и y. Это уже не солитонное уравнение, но оно имеет много похожих свойств, так как оно связано с уравнением синус-Гордона аналитическим продолжением (или поворотом Вика) y = it.

Эллиптическое уранение шинус-Гордона может быть определено аналогичным образом. Обобщение даётся теорией поля Тоды.

Квантовая версия[править | править вики-текст]

В квантовой теории поля модель синус-Гордона содержит параметр, который может быть отождествлён с постоянной Планка. Спектр частиц состоит из солитона, антисолитона и конечного (возможно, нулевого) числа бризеров. Число бризеров зависит от данного параметра. Множественные рождения частиц сокращаются на уравнениях движения. Квазиклассическое квантование модели синус-Гордона было осуществлено Людвигом Фаддеевым и Владимиром Корепиным, см. Physics Reports том 42(1), стр. 1-87, июнь 1978. Точная квантовая матрица рассеяния была открыта Александром Замолодчиковым. Данная модель s-дуальна модели Тирринга.

В конечном объёме и на луче[править | править вики-текст]

Также рассматривают модель синус-Гордона на круге, отрезке прямой или луче. Возможно подобрать граничные условия, которые сохраняют интегрируемость данной модели. На луче спектр частиц содержит пограничные состояния кроме солитонов и бризеров.

Суперсимметричная модель синуса-Гордона[править | править вики-текст]

Суперсимметричный аналог модели синус-Гордона также существует. С таким же успехом для него могут быть найдены сохраняющие интегрируемость граничные условия.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Dodd RK, Eilbeck JC, Gibbon JD, Morris HC. Solitons and Nonlinear Wave Equations. Academic Press, London, 1982.
  2. Rogers C, Schief WK. Bäcklund and Darboux Transformations'.' New York: Cambridge University Press, 2002.
  3. 1 2 Miroshnichenko A, Vasiliev A, Dmitriev S. Solitons and Soliton Collisions.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Polyanin AD, Zaitsev VF. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2004.
  • Rajaraman R. Solitons and instantons. North-Holland Personal Library, 1989.