Уравнение четвёртой степени

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \!.

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Содержание

[править] Решения

[править] Решение Декарта — Эйлера

Сделав подстановку x = y - \frac{a}{4}, получим уравнение в следующем виде (он называется «неполным»):

y4 + py2 + qy + r = 0.

Корни y1, y2, y3, y4 такого уравнения равны одному из следующих выражений:

\pm \sqrt{z_1} \pm \sqrt{z_2} \pm \sqrt{z_3}

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

\sqrt{z_1} \sqrt{z_2} \sqrt{z_3} = -\frac{q}{8},

причём z1, z2 и z3 — это корни кубического уравнения


z^3 + \frac{p}{2}z^2 + \frac{p^2 - 4r}{16}z - \frac{q^2}{64} = 0

[править] Решение Феррари

Основная статья: Метод Феррари

Если y1 - произвольный корень кубического уравнения

y3 − by2 + (ac − 4d)y − a2d + 4bd − c2 = 0, (2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d}

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

[править] См. также

[править] Литература

  • Корн Г., Корн Т. (1974) Справочник по математике.

[править] Ссылки

Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B2%D1%91%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8»