Уравнение четвёртой степени

График многочлена 4-ой степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0, \quad a \neq 0.$

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как $f(x)$ является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если $a>0$, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если $a<0$, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум

Теорема Виета для уравнения четвёртой степени

Корни уравнения четвёртой степени $x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4$ связаны с коэффициентами $a,\,b,\,c,\,d,\,e$ следующим образом:

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a},$

$x_1\,x_2 + x_1\,x_3 + x_1\,x_4 + x_2\,x_3 + x_2\,x_4 + x_3\,x_4 = \frac{c}{a},$

$x_1\,x_2\,x_3+x_1\,x_2\,x_4 + x_1\,x_3\,x_4 + x_2\,x_3\,x_4 = -\frac{d}{a},$

$x_1\,x_2\,x_3\,x_4 = \frac{e}{a}.$

История

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство».

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа до смерти на дуэли, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.

Решения

Решение Декарта — Эйлера

В уравнение четвёртой степени:

$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, \quad a \ne 0.$

Сделаем подстановку $x = y - \frac{b}{4a}$, получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

$y^4 + py^2 + qy + r = 0,\,$

где

$p = \frac{8ac - 3b^2}{8a^2},$

$q = \frac{8a^2d + b^3 - 4abc}{8a^3},$

$r = \frac{16ab^2c - 64a^2bd - 3b^4 + 256a^3e}{256a^4}.$

Корни $y_1,\,y_2,\,y_3,\,y_4$ такого уравнения равны одному из следующих выражений:

$\pm \sqrt{z_1}$ $\pm \sqrt{z_2}$ $\pm \sqrt{z_3},$

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

$(\pm \sqrt{z_1})(\pm \sqrt{z_2})(\pm \sqrt{z_3}) = -\frac{q}{8},$

причём $z_1,\,z_2,\,z_3$ — это корни кубического уравнения

$z^3 + \frac{p}{2}z^2 + \frac{p^2 - 4r}{16}z - \frac{q^2}{64} = 0.$

Решение Феррари

Если уравнение 4-й степени вида $x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0 \,$ , то решение может быть найдено по методу Феррари. Если $y_1$ — произвольный корень кубического уравнения

$y^3-by^2+(ac-4d)y-a^2d+4bd-c^2=0,$

(2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

$x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d}$

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение — уравнение четвёртой степени вида $ax^4+bx^2+c=0$, где $a, b, c$ — заданные комплексные числа и $a\not=0$. Подстановкой $~y=x^2; y\geqslant 0$ сводится к квадратному уравнению относительно $y$.

Четыре его корня: $x_{1,2,3,4} = \pm \sqrt{\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$.

Возвратное уравнение четвёртой степени

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для $~ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$ такого, что $a \neq 0$, решение находится приведением к виду:

$a\left(x^2 + {1 \over x^2}\right) + b\left(x + {1 \over x}\right) + c =0$,

и после замены $t = {x + {1 \over x}}$ ищется решение квадратного уравнения $at^2 + bt + c - 2a = 0$.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Наука, 2003. — 832 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9

Ссылки

• Решение Феррари  (англ.). Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Проверено 27 сентября 2009.
• Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Biquadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Biquadratic equation (англ.) на сайте PlanetMath.