Уравнение четвёртой степени

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График многочлена 4-ой степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0, \quad a \neq 0.

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как f(x) является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если a>0, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если a<0, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум

Теорема Виета для уравнения четвёртой степени[править | править исходный текст]

Корни уравнения четвёртой степени x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4 связаны с коэффициентами a,\,b,\,c,\,d,\,e следующим образом:

x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a},
x_1\,x_2 + x_1\,x_3 + x_1\,x_4 + x_2\,x_3 + x_2\,x_4 + x_3\,x_4 = \frac{c}{a},
x_1\,x_2\,x_3+x_1\,x_2\,x_4 + x_1\,x_3\,x_4 + x_2\,x_3\,x_4 = -\frac{d}{a},
x_1\,x_2\,x_3\,x_4 = \frac{e}{a}.

История[править | править исходный текст]

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано,[1] а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство»[2].

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа до смерти на дуэли, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.[3]

Решения[править | править исходный текст]

Решение Декарта — Эйлера[править | править исходный текст]

В уравнении четвёртой степени:

 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, \quad a \ne 0.

Сделаем подстановку x = y - \frac{b}{4a}, получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

 y^4 + py^2 + qy + r = 0,\,

где

 p = \frac{8ac - 3b^2}{8a^2},
 q = \frac{8a^2d + b^3 - 4abc}{8a^3},
 r = \frac{16ab^2c - 64a^2bd - 3b^4 + 256a^3e}{256a^4}.

Корни y_1,\,y_2,\,y_3,\,y_4 такого уравнения равны одному из следующих выражений:

\pm \sqrt{z_1} \pm \sqrt{z_2} \pm \sqrt{z_3},

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

(\pm \sqrt{z_1})(\pm \sqrt{z_2})(\pm \sqrt{z_3}) = -\frac{q}{8},

причём z_1,\,z_2,\,z_3 — это корни кубического уравнения

z^3 + \frac{p}{2}z^2 + \frac{p^2 - 4r}{16}z - \frac{q^2}{64} = 0.

Решение Феррари[править | править исходный текст]

Если уравнение 4-й степени вида x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0 \, , то решение может быть найдено по методу Феррари. Если y_1 — произвольный корень кубического уравнения

y^3-by^2+(ac-4d)y-a^2d+4bd-c^2=0, (2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d}

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнение[править | править исходный текст]

Биквадратное уравнение[4] — уравнение четвёртой степени вида ax^4+bx^2+c=0, где a, b, c — заданные комплексные числа и a\not=0. Подстановкой ~y=x^2; y\geqslant 0 сводится к квадратному уравнению относительно y.

Четыре его корня: x_{1,2,3,4} = \pm \sqrt{\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}.

Симметрическое уравнения четвёртой степени[править | править исходный текст]

Симметрическое четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для ~ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0 такого, что a \neq 0, решение находится приведением к виду:

a\left(x^2 + {1 \over x^2}\right) + b\left(x + {1 \over x}\right) + c =0 ,

и после замены t = {x + {1 \over x}} ищется решение квадратного уравнения at^2 + bt + c - 2a = 0.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Ferrari biography
  2. «Великое искусство» (Ars magna, 1545)
  3. Ян Стюарт, Теория Галуа, издание третье (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004) (англ.)
  4. В литературе до середины XX века биквадратным также могли называть уравнение четвёртой степени общего вида

Литература[править | править исходный текст]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Наука, 2003. — 832 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9

Ссылки[править | править исходный текст]