Уравнения Аппеля

В классической механике уравнения Аппеля рассматривают как альтернативную формулировку общих уравнений движения, предложенных Ньютоном. Выписаны Полем Аппелем в 1900 . Несмотря на то, что эти уравнения полностью эквивалентны уравнениям, получаемым из законов Ньютона и принципа наименьшего действия, уравнения Аппеля в ряде случаев оказываются более удобными, в частности, в случае, когда система стеснена механическими связями.

Формулировка

Пусть задана механическая система из $N$ материальных точек с массами $m_1, m_2, \dots , m_N$, на которые наложены геометрические (1) и линейные кинематические (2) связи:

(1) $f_{\alpha}(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_N,t) = 0, \quad \alpha = 1,...,d$

(2) $\sum_{\nu=1}^{N} \mathbf{A}_{\beta \nu}(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_N,t) \cdot \mathbf{\dot{r}}_\nu + A_{\beta}(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_N,t) = 0, \quad \beta = 1,...,g$

Требуется описать движение системы, если известны активные силы $\mathbf{F}_1,...,\mathbf{F}_N$ (силы, действующие на каждую точку, зависят от времени, расположения всех точек и их скоростей), и известно начальное состояние системы (положение и скорости всех точек в начальный момент времени).

Одно из важнейших предположений о механической системе, необходимое для справедливости уравнений Аппеля, состоит в том, что возникающие реакции связей предполагаются идеальными, то есть суммарно не производящими работы на любом виртуальном перемещении точек системы.

В случае голономной системы, когда кинематические связи отсутствуют или интегрируемы (то есть сводятся к геометрическим связям), уравнения Аппеля имеют вид:

(3) $\frac{\partial S}{\partial \ddot{q}_{k}} = G_{k}, \quad k=1,...,n$

где

$n = 3N - d$ - число геометрических степеней свободы системы;

$q_1, ..., q_n$ - произвольная система независимых между собой обобщённых координат, параметризующих пространство возможных геометрических положений системы во всякий момент времени (таким образом, использование этих координат полностью учитывает геометрические связи, наложенные на систему);

$G_1, ..., G_n$ - "обобщенные силы" - коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил на произвольном виртуальном перемещении $\delta\mathbf{r} = (\delta\mathbf{r}_1,...,\delta\mathbf{r}_N)$:

$\delta A = \mathbf{F}_1\delta\mathbf{r}_1 + ... + \mathbf{F}_N\delta\mathbf{r}_N = G_1\delta q_1 + ... + G_n\delta q_n$

(4) $S = \frac{1}{2} \sum_{\nu=1}^{N} m_{\nu} \mathbf{\ddot{r}}_{\nu}^2$ - так называемая "энергия ускорений", в формуле (3) величина $S$ - функция времени, обобщённых координат и их производных 1-го и 2-го порядков.

В неголономном случае уравнения Аппеля имеют практически тот же самый вид (3), однако в этом случае в формулах участвуют не обобщённые координаты, а псевдокоординаты, которые вводятся следующим образом:

(5) $\dot{\pi}_k = \sum_{i=1}^n\lambda_{ik}\dot{q}_i + \lambda_k, \quad k = 1, ..., n-g$.

В этих обозначениях точка сверху над именем переменной $\pi_k$ не обозначает операцию дифференцирования по времени, а составляет часть единого имени переменной. Переменной $\pi_k$, производная которой по времени совпадала бы с написанным выражением для любых путей движения системы, может не существовать, поэтому о ней говорят как о псевдопеременной (или о псевдокоординате). Во все дальнейшие формулы будут входить либо её производные (как минимум первого порядка), либо дифференциалы, поэтому её псевдо-сущность никак не проявится.

Коэффициенты $\lambda_{ik}$ и $\lambda_{i}$ могут зависеть от времени и координат точек. Кроме того, они должны удовлетворять условию, чтобы определитель матрицы коэффициентов при переменных $\dot{q}_i$ в линейной системе, образованной уравнениями (5) и (2) (записанных в обобщённых координатах), не обращался бы в ноль.

В случае неголономной системы уравнения Аппеля имеют вид:

(6) $\frac{\partial S}{\partial \ddot{\pi}_{k}} = G_{k}, \quad k=1,...,n - g$

где

$n = 3N - d$ - число геометрических степеней свободы системы;

$\pi_1, ..., \pi_{n-g}$ - система псевдокоординат;

$G_1, ..., G_{n-g}$ - "обобщенные силы" - коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил: $\delta A = G_1\delta \pi_1 + ... + G_n\delta \pi_{n-g}$;

функция S - та же, что в (4), но выраженная через переменные $t,q_1,...,q_n,\dot{\pi}_1,...,\dot{\pi}_{n-g},\ddot{\pi}_1,...,\ddot{\pi}_{n-g}$ (в обозначениях переменных $\ddot{\pi}_i$ только одна из точек - производная по времени!).

Чтобы получить полную систему уравнений движения системы, к уравнениям Аппеля (6) необходимо добавить уравнения кинематических связей (2) и формулы псевдокоординат (5).

Литература

Публикации П. Аппеля по данному вопросу

• PDF copy of Appell’s article at Goettingen University
• PDF copy of a second article on Appell’s equations and Gauss’s principle

Дополнительная литература

• Берёзкин Е. Н. Курс теоретической механики — 2-е издание, переработанное и дополненное — М.: Изд-во МГУ — 1974 г., 645 с.