Уравнения Аппеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В классической механике уравнения Аппеля рассматривают как альтернативную формулировку общих уравнений движения, предложенных Ньютоном. Выписаны Полем Аппелем в 1900 [1]. Несмотря на то, что эти уравнения полностью эквивалентны уравнениям, получаемым из законов Ньютона и принципа наименьшего действия, уравнения Аппеля в ряде случаев оказываются более удобными, в частности, в случае, когда система стеснена механическими связями.

Формулировка[править | править исходный текст]

Пусть задана механическая система из N материальных точек с массами m_1, m_2, \dots , m_N, на которые наложены геометрические (1) и линейные кинематические (2) связи:

(1) f_{\alpha}(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_N,t) = 0, \quad \alpha = 1,...,d
(2) \sum_{\nu=1}^{N} \mathbf{A}_{\beta \nu}(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_N,t) \cdot \mathbf{\dot{r}}_\nu + A_{\beta}(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_N,t) = 0, \quad \beta = 1,...,g

Требуется описать движение системы, если известны активные силы \mathbf{F}_1,...,\mathbf{F}_N (силы, действующие на каждую точку, зависят от времени, расположения всех точек и их скоростей), и известно начальное состояние системы (положение и скорости всех точек в начальный момент времени).

Одно из важнейших предположений о механической системе, необходимое для справедливости уравнений Аппеля, состоит в том, что возникающие реакции связей предполагаются идеальными, то есть суммарно не производящими работы на любом виртуальном перемещении точек системы.

В случае голономной системы, когда кинематические связи отсутствуют или интегрируемы (то есть сводятся к геометрическим связям), уравнения Аппеля имеют вид:

(3)  \frac{\partial S}{\partial \ddot{q}_{k}} = G_{k}, \quad  k=1,...,n

где

 n = 3N - d - число геометрических степеней свободы системы;
 q_1, ..., q_n - произвольная система независимых между собой обобщённых координат, параметризующих пространство возможных геометрических положений системы во всякий момент времени (таким образом, использование этих координат полностью учитывает геометрические связи, наложенные на систему);
 G_1, ..., G_n - "обобщенные силы" - коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил на произвольном виртуальном перемещении \delta\mathbf{r} = (\delta\mathbf{r}_1,...,\delta\mathbf{r}_N):
\delta A = \mathbf{F}_1\delta\mathbf{r}_1 + ... + \mathbf{F}_N\delta\mathbf{r}_N = G_1\delta q_1 + ... + G_n\delta q_n
(4)  S = \frac{1}{2} \sum_{\nu=1}^{N} m_{\nu} \mathbf{\ddot{r}}_{\nu}^2 - так называемая "энергия ускорений", в формуле (3) величина S - функция времени, обобщённых координат и их производных 1-го и 2-го порядков.

В неголономном случае уравнения Аппеля имеют практически тот же самый вид (3), однако в этом случае в формулах участвуют не обобщённые координаты, а псевдокоординаты, которые вводятся следующим образом:

(5) \dot{\pi}_k = \sum_{i=1}^n\lambda_{ik}\dot{q}_i + \lambda_k, \quad k = 1, ..., n-g.

В этих обозначениях точка сверху над именем переменной \pi_k не обозначает операцию дифференцирования по времени, а составляет часть единого имени переменной. Переменной \pi_k, производная которой по времени совпадала бы с написанным выражением для любых путей движения системы, может не существовать, поэтому о ней говорят как о псевдопеременной (или о псевдокоординате). Во все дальнейшие формулы будут входить либо её производные (как минимум первого порядка), либо дифференциалы, поэтому её псевдо-сущность никак не проявится.

Коэффициенты \lambda_{ik} и \lambda_{i} могут зависеть от времени и координат точек. Кроме того, они должны удовлетворять условию, чтобы определитель матрицы коэффициентов при переменных \dot{q}_i в линейной системе, образованной уравнениями (5) и (2) (записанных в обобщённых координатах), не обращался бы в ноль.

В случае неголономной системы уравнения Аппеля имеют вид:

(6)  \frac{\partial S}{\partial \ddot{\pi}_{k}} = G_{k}, \quad  k=1,...,n - g

где

 n = 3N - d - число геометрических степеней свободы системы;
 \pi_1, ..., \pi_{n-g} - система псевдокоординат;
 G_1, ..., G_{n-g} - "обобщенные силы" - коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил: \delta A = G_1\delta \pi_1 + ... + G_n\delta \pi_{n-g};
функция S - та же, что в (4), но выраженная через переменные t,q_1,...,q_n,\dot{\pi}_1,...,\dot{\pi}_{n-g},\ddot{\pi}_1,...,\ddot{\pi}_{n-g} (в обозначениях переменных \ddot{\pi}_i только одна из точек - производная по времени!).

Чтобы получить полную систему уравнений движения системы, к уравнениям Аппеля (6) необходимо добавить уравнения кинематических связей (2) и формулы псевдокоординат (5).

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Appell, P (1900). «"Sur une forme générale des équations de la dynamique."». Journal für die reine und angewandte Mathematik 121.

Литература[править | править исходный текст]

Публикации П. Аппеля по данному вопросу[править | править исходный текст]

Дополнительная литература[править | править исходный текст]