Уравнения Максвелла

	Классическая электродинамика
	Магнитное поле соленоида
Электростатика
	Закон Кулона; Теорема Гаусса; Электрический дипольный момент; Электрический заряд; Электрическая индукция; Электрическое поле; Электростатический потенциал
Магнитостатика
	Закон Био — Савара — Лапласа; Закон Ампера; Магнитный момент; Магнитное поле; Магнитный поток
Электродинамика
	Диполь; Потенциалы Лиенара — Вихерта; Сила Лоренца; Ток смещения; Униполярная индукция; Уравнения Максвелла; Электрический ток; Электродвижущая сила; Электромагнитная индукция; Электромагнитное излучение; Электромагнитное поле
Электрическая цепь
	Закон Ома; Законы Кирхгофа; Индуктивность; Радиоволновод; Резонатор; Электрическая ёмкость; Электрическая проводимость; Электрическое сопротивление; Электрический импеданс
Ковариантная формулировка
	Тензор электромагнитного поля; Тензор энергии-импульса; 4-ток · 4-потенциал
Известные учёные
	Генри Кавендиш; Майкл Фарадей; Андре-Мари Ампер; Густав Роберт Кирхгоф; Джеймс Клерк (Кларк) Максвелл; Генри Рудольф Герц; Альберт Абрахам Майкельсон; Роберт Эндрюс Милликен
	Просмотр • Обсуждение • Править

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Перейти к: навигация, поиск

Уравнения Максвелла — основные уравнения классической электродинамики, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. Уравнения были опубликованы Дж. К. Максвеллом в 1873 году в его книге «Трактат об электричестве и магнетизме».

Содержание

1 Уравнения в классическом виде
2 Релятивистская инвариантность
3 Уравнения Максвелла с использованием дифференциальных форм
4 Литература
5 См. также

[править] Уравнения в классическом виде

Название	Дифференциальная форма	Интегральная форма	Примерное словесное выражение
Закон индукции Фарадея	$\operatorname{rot}\,\mathbf{E} = -{\partial \mathbf{B} \over \partial t}$	$\oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -{d\over dt}\oint_S \ {\mathbf{B}} \cdot d\mathbf{s}$	Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле
Закон Ампера (с добавкой от Максвелла)	$\operatorname{rot}\,\mathbf{H} = \mathbf{j} + {\partial \mathbf{D} \over \partial t}$	$\oint_{\partial S} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = I_{\mathrm{encl}} + {d\over dt}\oint_S \ {\mathbf{D}} \cdot d\mathbf{s}$	Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
Теорема Гаусса	$\operatorname{div}\,\mathbf{D} = \rho$	$\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{s} = Q_{\mathrm{encl}}$	Электрический заряд является источником электрической индукции
Теорема Гаусса	$\operatorname{div}\,\mathbf{B} = 0$	$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = 0$	Магнитная индукция не расходится (не имеет источников) (не применима к монополям)

Приведенные выше уравнения Максвелла не составляют еще полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойства среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины $\mathbf{j}$ , $\mathbf{H}$ , $\mathbf{D}$ , $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ , в которых учитываются индивидуальные свойства среды называются материальными уравнениями.

Введённые обозначения:

$\rho \$ — плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³)
$\mathbf j$ — плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²)
$\mathbf E$ — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м)
$\mathbf H$ — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м)
$\mathbf D$ — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²)
$\mathbf B$ — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м²= кг·с^-2·А^-1)
$Q_{\mathrm{encl}} \$ — сторонний электрический заряд, заключенный внутри поверхности $S \$ (в единицах СИ — Кл)
$I_{\mathrm{encl}} \$ — электрический ток, проходящий через поверхность $S \$ вызванный движением свободных зарядов (в единицах СИ — А)

$\mathrm{rot} \$ — дифференциальный оператор ротора
$\mathrm{div} \$ — дифференциальный оператор дивергенции
$S \$ — замкнутая двумерная поверхность
${\partial S} \$ — граница поверхности

[править] Уравнения в Гауссовой системе единиц

[править] Материальные уравнения

Чтобы дополнить уравнения Максвелла до полной системы уравнений электродинамики, необходимо получить материальные уравнения, которые связывают величины $\mathbf{j}$ , $\mathbf{H}$ , $\mathbf{D}$ , $\mathbf{E}$ , $\mathbf {B}$ и в которых учтены индивидуальные свойства среды. Способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагничивания и электропроводности среды. В основе таких теорий лежат в той или иной степени идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения классической или квантовой механики, а также методы статистической физики, можно установить связь между векторами $\mathbf{j}$ , $\mathbf{H}$ , $\mathbf{D}$ с одной стороны и $\mathbf{E}$ , $\mathbf{B}$ с другой стороны. В случае слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени, а так же для изотропных, неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред материальные уравнения записываются в виде:

$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$

$\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}$

$\mathbf{j} = \sigma\mathbf{E}$

где $\varepsilon \$ — диэлектрическая проницаемость (в единицах СИ — Ф/м), $\mu \$ — магнитная проницаемость (в единицах СИ — Гн/м) и $\sigma \$ — электропроводность среды (в единицах СИ — 1/(Ом·м)).

[править] В вакууме, без зарядов и токов

Вакуум — это линейная, однородная, изотропная, бездисперсионная среда; и магнитная, и электрическая постоянные обозначаются через $\varepsilon_0 \$ и $\mu_0 \$ (не учитывая очень малых квантовых эффектов).

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}$

$\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}$

Уравнения Максвелла для вакуума без электрических зарядов и токов такие:

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$

$\nabla \cdot \mathbf{H} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = - \mu_0 \frac{\partial\mathbf{H}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{H} = \ \ \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

Эта система дифференциальных уравнений имеет простое решение — гармоническая, плоская волна. Векторы электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распространения волны и друг другу, и находятся в фазе. Волна распространяется со скоростью:

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}.$

Максвелл обозначил эту величину $c$ . Это просто скорость света в вакууме, а свет — это вид электромагнитного излучения. Общепринятые значения^[1] скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в следующей таблице:

Символ	Имя	Численное значение	Единицы измерения СИ	Тип
$c \$	Постоянная скорости света	$2{,}99792458 \times 10^8$	м/с	LT⁻¹
$\ \varepsilon_0$	Электрическая постоянная	$8{,}85418782 \times 10^{-12}$	Ф / м	L⁻³M⁻¹T⁴I²
$\ \mu_0 \$	Магнитная постоянная	$1{,}25663706 \times 10^{-6}$	Гн / м	LMT⁻²I⁻²

[править] Релятивистская инвариантность

Уравнения Максвелла в вакууме инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это послужило одним из толчков к созданию специальной теории относительности. В ковариантной форме уравнения приобретают вид:

$\partial_i F^{i k} = \frac{4\pi}{c} J^k \,$

$\partial_i F_{k l} + \partial_k F_{l i} + \partial_l F_{i k} = 0 \,$ ,

где $J^k=(c\rho,\; \mathbf{j})$ — 4-ток, а $\ F^{i k}$ — антисимметричный тензор электромагнитного поля:

$F^{i k} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)$

[править] Уравнения Максвелла с использованием дифференциальных форм

В вакууме $\varepsilon$ и $μ$ — константы. Для записи уравнений Максвелла проще использовать язык дифференциальных геометрии и форм. Электромагнитное поле — это 2-форма $\mathbf F$ в четырёхмерном многообразии пространства-времени. Уравнения Максвелла сожмутся до второй формулы Бианчи

$d\mathbf{F}=0$

где $d$ — это ковариантная производная — дифференциальный оператор действующий на формы и уравнения источников

$d * {\mathbf{F}}=\mathbf{J}$ ,

где звезда Ходжа * — это дуальный оператор Ходжа линейного преобразования из пространства 2-формы в дуальное пространство $4 - 2 = 2$ форм в метрике пространства Минковского и системе СГС, где $1/4\pi\varepsilon_0=1$ . 3-форма $\mathbf J$ называется «электрический ток» или токовая 3-форма, удовлетворяющая уравнению непрерывности

$d{\mathbf{J}}=0$ .

Внешняя ковариантная производная определена на любых многообразиях. Это формальное описание электромагнетизма подходит для четырёхмерных многообразий с метрикой Лоренца, что эквивалентно криволинейному пространству-времени Общей теории относительности.

В линейной макроскопической теории влияние материи на электромагнитное поле описывается через более общее линейное преобразования пространства 2-форм.

$C:\Lambda^2\ni\mathbf{F}\mapsto \mathbf{G}\in\Lambda^{(4-2)}$

Это называется линейное приближение или материальные уравнения. Это преобразование совместимо с дуальным преобразованием Ходжа. Уравнения Максвелла с учётом среды такие:

$d\mathbf{F} = 0$

$d\mathbf{G} = \mathbf{J}$

где ток $\mathbf J$ удовлетворяет уравнению непрерывности $d\mathbf{J}=0$ . Где поле — это внешнее дифференцирование (или линейная комбинация) базисных форм $\mathbf{\theta}^p$ ,

$\mathbf{F} = F_{pq}\mathbf{\theta}^p\wedge\mathbf{\theta}^q$

для материальной среды

$G_{pq} = C_{pq}^{mn}F_{mn}$

причём коэффициенты поля антисимметричны относительно индексов, а материальные коэффициенты антисимметричны относительно перестановок пар. Тогда дуальное преобразование Ходжа примет следующий вид

$C_{pq}^{mn} = g^{ma}g^{nb} \varepsilon_{abpq} \sqrt{-g}$

только для инвариантного тензора данного типа с определённой метрикой.

[править] Литература

Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — 688 с.
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7

[править] См. также

[1]

Уравнения Максвелла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Уравнения в классическом виде

[править] Уравнения в Гауссовой системе единиц

[править] Материальные уравнения

[править] В вакууме, без зарядов и токов

[править] Релятивистская инвариантность

[править] Уравнения Максвелла с использованием дифференциальных форм

[править] Литература

[править] См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках