Уровни Ландау

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уровни Ландау — энергетические уровни для заряженной частицы в магнитном поле. Впервые получены как решение уравнения Шрёдингера для заряженной частицы в магнитном поле Л. Д. Ландау в 1930 году. Решением этой задачи являются волновые функции электрона в гармоническом потенциале. Уровни Ландау играют существенную роль во всех кинетических явлениях в присутствии магнитного поля.

Вводные замечания[править | править исходный текст]

Классический случай[править | править исходный текст]

В классической механике движение частиц подчиняется второму закону Ньютона: ускорение равно силе, поделённой на массу, и направлено вдоль вектора силы. Сила, действующая на частицу в магнитном поле (сила Лоренца), пропорциональна произведению скорости движения частицы, напряжённости магнитного поля, заряду частицы, и синусу угла между направлением движения частицы и направлением магнитного поля. Направление силы перпендикулярно направлению магнитного поля и направлению движения частицы, и определяется правилом левой руки. Это правило можно проиллюстрировать простыми примерами:

  • если частица движется вдоль магнитного поля, сила, действующая на неё, равна нулю
  • если частица не заряжена, сила, действующая на неё, равна нулю
  • если магнитного поля нет, сила, действующая на частицу, равна нулю
  • если магнитное поле удвоить, сила, действующая на частицы, удвоится
  • если скорость частицы увеличится в 10 раз (а направление движения останется тем же), сила, действующая на неё, тоже увеличится в 10 раз
  • если частица движется поперёк магнитного поля, а другая, с тем же зарядом и с той же скоростью — под углом 30° к магнитному полю, сила, действующая на вторую частицу, в 2 раза меньше (потому что sin 30° = 1/2) .

Заряженная частица в постоянном магнитном поле будет или вращаться по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору индукции магнитного поля, или двигаться по винтовой линии, причём ось спирали параллельна оси магнитного поля. Частица может иметь какую угодно энергию, и радиус окружности или спирали может быть каким угодно. Это было известно ещё в XIX веке.

Квантовый случай[править | править исходный текст]

В квантовой механике у частиц нет определённой координаты и можно говорить только о вероятности найти частицу в некоторой области пространства. Состояние частицы описывается волновой функцией, а динамика частицы (или системы частиц) описывается не вторым законом Ньютона, а гораздо более сложным уравнением Шредингера. (Уравнение Шредингера справедливо только в нерелятивистском случае, то есть когда скорости движения частиц значительно меньше скорости света, в противном случае действует ещё более сложное уравнение Дирака).

Характерной особенностью уравнения Шредингера является то, что его собственные значения могут быть дискретны. Например, планеты могут вращаться вокруг Солнца на орбитах с любым радиусом и могут иметь непрерывный набор значений энергии, а электрон в атоме водорода в квазиклассическом приближении «обращается» вокруг протона на орбитах с определёнными радиусами и может обладать только некоторыми разрешенными энергиями, представленными в энергетическом спектре.

С открытием законов квантовой механики возник вопрос: что происходит с движением частиц в магнитном поле в квантовомеханическом случае? Для решения этого вопроса необходимо решить уравнение Шредингера. Впервые это сделал 1930 году советский физик Ландау. Оказалось, что вдоль магнитного поля частица может двигаться с любой скоростью; но при заданной проекции скорости поперек магнитного поля частица может занимать дискретные энергетические уровни. Эти уровни были названы уровнями Ландау.

Ниже приводится уравнение Шредингера и его решения, причём:

  • Уравнение (1) описывает энергетические уровни частицы
  • Уравнение (3) является уравнением Шредингера в магнитном поле.
  • Уравнение (7) описывает волновые функции
  • Уравнение (10) описывает энергетические уровни частицы, когда есть не только магнитное поле, но и электрическое
  • Уравнение (11) описывает энергетические уровни частицы в двумерном пространстве.

Трёхмерный случай[править | править исходный текст]

Энергетический спектр для электрона (значение энергии в зависимости от его состояния) в магнитном поле в трёхмерном случае представляется в простом виде

E(n,k_z)=\frac{\hbar^2k_z^2}{2m}+\hbar\omega_c\left(n+\frac{1}{2}\right) \qquad

где \hbar — приведенная постоянная Планка, \omega_c=\frac{eB}{mc} — циклотронная частота (СГС), \! B — внешнее магнитное поле, \! cскорость света в вакууме, \! eэлементарный электрический заряд, \! m — масса электрона, \! k_zволновой вектор в направлении \! \overrightarrow{z}, которое принято за направление магнитного поля. Здесь энергетический спектр \! ( 1 ) легко интерпретировать. Движение вдоль магнитного поля, где магнитное поле не влияет на заряженную частицу, представлено плоскими волнами, как для свободной частицы с волновым вектором \! k_z. Движение в направлении, перпендикулярном магнитному полю, ограничено, и энергетический спектр полностью квантован. Хотя движение частицы происходит в трёхмерном пространстве, энергетический спектр зависит только от двух квантовых чисел: непрерывного \! k_z и дискретного \! n. Это означает, что спектр частицы является вырожденным. В трёхмерном случае наблюдается двукратное вырождение энергии по проекции волнового вектора на направление магнитного поля \! \pm k_z. В дополнение к этому имеется вырождение уровня Ландау, равное

\! N_L=\frac{eBS}{hc}, \qquad ( 2 )

где \! hпостоянная Планка. Кратность вырождения каждого из уровней Ландау равна отношению площади сечения образца плоскостью, перпендикулярной магнитному полю, к площади круга с радиусом равным магнитной длине \! l_H=\sqrt{\frac{\hbar c}{eB}}, что является характерным размером области высокой вероятности нахождения частицы.

Кроме того, для свободных электронов в трёхмерном пространстве наблюдается приблизительное двукратное вырождение уровней энергии по спину. Это вырождение, однако, нетривиально, поскольку для него требуется, чтобы уровень Ландау для электрона со спином вниз в точности совпадал с уровнем Ландау для электрона со спином вверх плюс магнитный момент электрона на магнитное поле. Другими словами, требуется, чтобы g-фактор для электрона был в точности равен двойке (это, как показывает квантовая электродинамика, не совсем так). Это требование тем более не выполняется для электронов — квазичастиц в твёрдых телах (эффективная масса электрона и его магнитный момент мало связаны). Тем не менее, задача об электроне со спином и g-фактором равным 2 представляет некоторый теоретический интерес, поскольку её можно представить как задачу, обладающую суперсимметрией (см. Генденштейн Л. Э., Криве И. В. Суперсимметрия в квантовой механике // УФН. 1985. Т. 146, Вып. 4).

О решении уравнения Шрёдингера для электрона в магнитном поле[править | править исходный текст]

Стационарное уравнение Шрёдингера для электрона в магнитном поле представлено в виде

\frac{1}{2m}
\left(\hat{\mathbf{p}}-\frac{e}{c}\hat{\mathbf{A}}\right)^2\Psi_n(\mathbf{r})=E_n\Psi_n(\mathbf{r}), \qquad ( 3 )

где \! \hat{\mathbf{p}} и \! \hat{\mathbf{A}}оператор импульса электрона и векторный потенциал магнитного поля соответственно, \! \Psi_n(\mathbf{r})волновая функция электрона, \! E_n — энергия и индекс \! n обозначает n-ый уровень Ландау. В калибровке Ландау уравнение \! ( 3 ) запишется в виде

\! \left[-\frac{\hbar^2}{2m}
\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)+\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial y}-\frac{eB}{c}x\right)^2\right]\Psi_n(x,y,z)=E_n\Psi_n(x,y,z). \qquad ( 4 )

Чтобы разделить переменные в этом уравнении, решение удобно искать в виде произведения трёх функций

\Psi_n(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{L_zL_y}}e^{ik_zz}e^{ik_yy}\psi_{n,k_y}(x), \qquad ( 5 )

где \! L_z и \! L_y — размеры системы, \! k_z и \! k_y — волновые векторы, индекс \! k_y у волновой функции \! \psi_{n,k_y}(x) означает, что она зависит от него как от параметра. Подставляя \! ( 5 ) в \! ( 4 ) получим одномерное уравнение для \! \psi_{n,k_y}(x)

\! \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+\frac{m\omega_c^2}{2}(x-k_yl_H^2)^2\right]\psi_{n,k_y}(x)=\epsilon_n\psi_{n,k_y}(x). \qquad ( 6 )

Это уравнение — не что иное, как уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора со сдвигом минимума потенциала. Таким образом, решения запишутся в виде

\psi_{n,k_y}(x)=\frac{1}{\sqrt{2^nn!\pi^{1/2}l_H}}e^{-\frac{(x-k_yl_H^2)^2}{2l_H^2}}H_n\left(\frac{(x-k_yl_H^2)}{l_H}\right), \qquad ( 7 )

где  H_n(x)многочлен Эрмита порядка \! n.

О влиянии электрического поля[править | править исходный текст]

Теперь рассмотрим влияние электрического поля на энергетический спектр электрона в магнитном поле. Перепишем уравнение \! ( 6 ) с учётом электрического поля \! \varepsilon, направленного по \! x

\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+\frac{m\omega_c^2}{2}(x-k_yl_H^2)^2+e\varepsilon x\right]\psi_{n,k_y}(x)=E_{n,k_y}\psi_{n,k_y}(x), \qquad ( 8 )

которое после выделения полного квадрата представляется в виде

\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+\frac{m\omega_c^2}{2}(x-X_{k_y})^2+e\varepsilon k_yl_H^2-\frac{m}{2}v_d^2\right]\psi_{n,k_y}(x)=E_{n,k_y}\psi_{n,k_y}(x), \qquad ( 9 )

где \! X_{k_y}=k_yl_H^2-\frac{v_d}{\omega_c} и \! v_d=c\frac{\varepsilon}{B}. Мы видим из гамильтониана, что электрическое поле просто сдвигает центр волновой функции. Энергетический спектр задаётся следующим выражением:


E_{n,k_y}=\hbar\omega_c\left(n+\frac{1}{2}\right)+e\varepsilon X_{k_y}+\frac{m}{2}v_d^2. \qquad ( 10 )

Двумерный случай[править | править исходный текст]

В двумерном случае движение по одной из осей (например, оси z) квантовано. В этом случае спектр электронов состоит из эквидистантных уровней (с расстоянием между уровнями \hbar \omega_c, где \! \omega_c определяется из компоненты магнитного поля вдоль оси z). Энергия электрона есть

E(n,m)=E_m+\hbar\omega_c\left(n+\frac{1}{2}\right), \qquad ( 11 )

где \! E_m — энергия электрона, связанная с движением вдоль оси z. А так как ось z отсутствует в данном случае, то \! E_m=0:

E(n)=\hbar\omega_c\left(n+\frac{1}{2}\right), \qquad ( 12 )