Усечённая пирамида

Усеченная пирамида

Усечённая пирами́да — многогранник, часть пирамиды, заключенная между основанием и плоскостью, параллельной основанию.

Связанные определения

• Основание изначальной пирамиды, а также параллельная ему грань называются основаниями усечённой пирамиды.
  • Остальные грани называются боковыми.

Правильная усечённая пирамида

• Если изначальная пирамида правильная, то её усечённая пирамида также называется правильной.
  • Высота боковой грани называется апофемой.

Свойства

• Боковые грани усечённой пирамиды представляют собой трапеции.

• Объём усечённой пирамиды равен $V={\tfrac {1}{3}}\cdot h(S_{1}+{\sqrt {S_{1}\cdot S_{2}}}+S_{2})$, где $S_{1},S_{2}$ — площади оснований, $h$ — высота усечённой пирамиды.
  • Для квадратных усечённых пирамид эта формула была известна в Древнем Египте (задача № M14 Московского математического папируса).

Правильная усечённая пирамида

• Боковые стороны правильной усечённой пирамиды, а также углы между ними и основанием усечённой пирамиды равны.
• Боковые грани правильной усечённой пирамиды являются равнобедренными трапециями, равными между собой.
• Равны двугранные углы между боковыми гранями, а также между каждой из граней и основанием усечённой пирамиды.
• Площадь боковой поверхности равна произведению полусуммы периметров её оснований и апофемы (высоты боковой грани): $S_{b}={\frac {1}{2}}(p_{1}+p_{2})\cdot l$, где $p_{1}$ — периметр первого основания, $p_{2}$ — периметр второго, а $l$ — апофема.
• Площадь боковой поверхности равна $S_{b}={\frac {|S_{1}-S_{2}|}{\cos \varphi }}$, где $S_{1},S_{2}$ — площади оснований, а $\varphi$ — двугранный угол при основании усечённой пирамиды.