Ускорение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Ускорение
\vec a = {d\vec v \over dt}
Размерность

LT−2

Единицы измерения
СИ

м/с²

СГС

см/с²

Падающий мяч при отсутствии сопротивления воздуха ускоряется, то есть движется все быстрее и быстрее.

Ускоре́ние (обычно обозначается латинскими буквами a (от лат. acceleratio) или w) — физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости тела, то есть первая производная от скорости по времени. Ускорение является векторной величиной, показывающей, на сколько изменяется вектор скорости \vec v тела при его движении за единицу времени:

 \vec a={d\vec v \over dt}.

Например, тела, свободно падающие вблизи поверхности Земли в вертикальном направлении, в случаях, когда испытываемое ими сопротивление воздуха мало, увеличивают свою скорость примерно на 9,8 м/с каждую секунду, то есть их ускорение примерно равно 9,8 м/с².

Важно, что ускорение является вектором, то есть учитывает не только изменение величины скорости (модуля векторной величины), но и изменение её направления. В частности, ускорение тела, движущегося по окружности с постоянной по модулю скоростью, не равно нулю; тело испытывает постоянное по модулю (и переменное по направлению) ускорение, направленное к центру окружности (центростремительное ускорение).

Единицей ускорения в Международной системе единиц (СИ) служит метр в секунду за секунду (m/s2, м/с2), существует также внесистемная единица гал (gal), применяемая в гравиметрии и равная 1 см/с2.

Производная ускорения по времени, то есть величина, характеризующая скорость изменения ускорения, называется рывок:


\vec j=\frac {\mathrm{d} \vec a} {\mathrm{d}t}, где \vec j — вектор рывка.

В релятивистской механике обобщением классического ускорения является 4-ускорение.

Если динамика механической системы описывается не в декартовых, а в обобщённых координатах q_i (например, в гамильтоновой или в лагранжевой формулировках механики), то можно ввести обобщённые ускорения \ddot{q_i} — первые производные по времени обобщённых скоростей \dot{q_i} или вторые производные по времени обобщённых координат; например, если в качестве одной из обобщённых координат выбран угол, то обобщённым ускорением будет соответствующее угловое ускорение. Размерность обобщённых ускорений в общем случае не равна LT−2.

Кинематика точки[править | править вики-текст]

Вектор ускорения материальной точки в любой момент времени находится путём однократного дифференцирования по времени вектора скорости материальной точки (или двукратного дифференцирования радиус-вектора):

\vec a = {d\vec v \over dt} = {d^2\vec r \over dt^2}.

Если на траектории точки известны координаты \vec r (t_0) = \vec r_0 и вектор скорости \vec v(t_0) = \vec v_0 в какой-либо момент времени t0, а также зависимость ускорения от времени \vec a (t), то, интегрируя это уравнение, можно получить координаты и скорость точки в любой момент времени t (как до, так и после момента t0):

\vec v (t) = \vec v_0 + \int_{t_0}^t \vec a(t) dt.
\vec r (t) =  \vec r_0 + (t-t_0)\vec v_0 + \int_{t_0}^t\int_{t_0}^t \vec a(t) dt^2.

В частном случае, если вектор \vec a не меняется со временем, движение называют равноускоренным. При равноускоренном движении вышеприведённые общие формулы упрощаются до следующего вида:

\vec v(t) = \vec v_0 + (t - t_0)\vec a,
\vec r(t) = \vec r_0 + (t-t_0)\vec v_0 + {(t-t_0)^2\over 2}\vec a.

Частным случаем равноускоренного движения является случай, когда ускорение равно нулю в течение всего времени движения. В этом случае скорость постоянна, а движение происходит по прямолинейной траектории (если скорость тоже равна нулю, то тело покоится), поэтому такое движение называют прямолинейным и равномерным.

Равноускоренное движение точки всегда является плоским, а твёрдого тела — плоскопараллельным (поступательным). Обратное, вообще говоря, неверно.

Равноускоренное движение при переходе в другую инерциальную систему отсчёта остаётся равноускоренным.

Частный случай равноускоренного движения, когда ускорение (постоянное) и скорость направлены по одной прямой, но в разных направлениях, называется равнозамедленным движением. Равнозамедленное движение всегда одномерно. Движение можно рассматривать как равнозамедленное лишь до того момента, пока скорость не станет равной нулю. Кроме того, всегда существуют инерциальные системы отсчёта, в которых движение не является равнозамедленным.

Ускорение точки при прямолинейном движении[править | править вики-текст]

Важным частным случаем движения с ускорением является прямолинейное движение, когда ускорение в любой момент времени коллинеарно скорости (например, случай падения тела с вертикальной начальной скоростью). В случае прямолинейного движения можно выбрать одну из координатных осей вдоль направления движения и заменить радиус-вектор и векторы ускорения и скорости на скаляры. При постоянном ускорении из приведённых выше формул вытекает, что

 v^2= u^2 + 2 \, a s.

Здесь u и v — начальная и конечная скорость тела, a — его ускорение, s — пройденный телом путь.

Равноускоренное прямолинейное движение без начальной скорости[править | править вики-текст]

Ряд практически важных формул связывают затраченное время, пройденный путь, достигнутую скорость и ускорение при равноускоренном прямолинейном движении с нулевой начальной скоростью:

 t = \sqrt{\frac{2 s}{a}} = \frac{v}{a} = \frac{2s}{v}, \qquad\qquad s = \frac{vt}{2}=\frac{a t^2}{2} = \frac{v^2}{2a},
 v = \sqrt{2 \, a s} = at = \frac{2s}{t},  \qquad\qquad a = \frac{v}{t} = \frac{2s}{t^2} = \frac{v^2}{2s},

так что любые две из этих величин определяют две других (здесь предполагается, что время отсчитывается от начала движения, t0 = 0).

Равноускоренное прямолинейное движение в теории относительности[править | править вики-текст]

Ускорение точки при движении по окружности[править | править вики-текст]

Равномерное движение по окружности. Ускорение всегда перпендикулярно скорости и направлено к центру.
Пример неравномерного движения по окружности (математический маятник). Ускорение, складывающееся из тангенциальной и центростремительной компонент, в разные моменты изменяется от полностью касательного до полностью нормального к траектории.

Вектор ускорения

 \vec a = \frac{d \vec v}{dt}

при движении точки по окружности можно разложить на два слагаемых (компоненты):

\vec a = \vec a_\tau + \vec a_n .

Тангенциальное или касательное ускорение \vec a_\tau (обозначается иногда \vec w_\tau, \vec u_\tau и т. д., в зависимости от того, какой буквой в конкретном тексте принято обозначать ускорение) направлено по касательной к траектории. Является составляющей вектора ускорения \vec a, коллинеарной вектору мгновенной скорости. Характеризует изменение скорости по модулю.

\vec a_\tau = \frac{\vec v}{|\vec v|} \cdot \frac{d |\vec v|}{dt}.

Центростремительное или нормальное ускорение \vec a_n (также обозначается иногда \vec w_n, \vec u_n и т. д.) возникает (не равно нулю) всегда при движении точки не только по окружности, но и по любой траектории с ненулевой кривизной. Является составляющей вектора ускорения \vec a, перпендикулярной вектору мгновенной скорости. Характеризует изменение скорости по направлению. Вектор нормального ускорения всегда направлен к мгновенной оси вращения,

\vec a_n = {|\vec v|} \cdot \frac{d}{dt}\frac{\vec v}{|\vec v|},

а модуль равен

|\vec a_n| = \omega ^2 r = {v^2 \over r},

где ω — угловая скорость относительно центра вращения, а r — радиус окружности.

Кроме этих двух компонент, используется также понятие угловое ускорение, показывающее, на сколько изменилась угловая скорость за единицу времени, и, аналогично линейному ускорению, вычисляемое следующим образом:

\vec \varepsilon = {d\vec \omega \over dt}.

Направление вектора здесь показывает, увеличивается или уменьшается модуль скорости. Если векторы углового ускорения и угловой скорости сонаправлены (или хотя бы их скалярное произведение положительно), значение скорости растёт, и наоборот.

В частном случае равномерного движения по окружности векторы углового ускорения и тангенциального ускорения равны нулю, а центростремительное ускорение постоянно по модулю.

Ускорение точки при движении по кривой[править | править вики-текст]

Разложение ускорения по сопутствующему базису для движения в плоскости.

Вектор ускорения \vec a можно разложить по сопутствующему базису \left\{\vec \tau, \vec{n}, \vec{b}\right\}:

 \vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} + {a}_b {\vec b} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau} +  \frac{v^2}{R} {\vec n} + {a}_b {\vec b} ,

где

 v\  — величина скорости,
 {\vec \tau} = \vec v/|\vec v|  — единичный касательный к траектории вектор, направленный вдоль скорости (касательный орт),
 {\vec n}  — орт главной нормали к траектории, который можно определить как единичный вектор в направлении  d \vec \tau / d l ,
 {\vec b}  — орт бинормали к траектории, перпендикулярный одновременно ортам  {\vec \tau} и  {\vec n} (то есть ортогональный к мгновенной плоскости траектории),
R — радиус кривизны траектории.

Слагаемое {a}_b{\vec b}, называемое бинормальным ускорением, всегда равно нулю. Это можно считать прямым следствием определения векторов \vec n, \vec b: можно сказать, что они выбираются именно так, чтобы первый всегда совпадал с нормальным ускорением, второй же был ортогонален первому.

Векторы {a}_\tau{\vec \tau} и {a}_n{\vec n} называются касательным (тангенциальным) и нормальным ускорениями соответственно.

Итак, учитывая сказанное выше, вектор ускорения при движении по любой траектории можно записать как:

 \vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau} +  \frac{v^2}{R} {\vec n}.

Ускорения в твёрдом теле[править | править вики-текст]

Связь ускорений двух точек абсолютно твёрдого тела A и B можно получить из формулы Эйлера для скоростей этих точек:

\vec{v}_B = \vec{v}_A + \left[\vec{\omega}\times\vec{AB}\right],

где \vec{\omega} — вектор угловой скорости тела. Продифференцировав её по времени, получаем формулу Ривальса[1][2] (Marc-Joseph-Émilien Rivals, 1833–1889[3]):

\vec{a}_B = \vec{a}_A + \left[\vec{\omega}\times \left[ \vec{\omega}\times \vec{AB}\right] \right] + \left[ \vec{\varepsilon}\times \vec{AB} \right],

где \vec{\varepsilon} — вектор углового ускорения тела.

Второе слагаемое называется осестремительным ускорением, а третье — вращательным ускорением[1].

Ускорение при сложном движении[править | править вики-текст]

Говорят, что материальная точка (тело) совершает сложное движение, если она движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта. Тогда абсолютное ускорение тела равно сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

\vec a_a=\vec {a}_r + \vec {a}_e + 2\left[\vec \omega \times \vec {v}_r \right].

Ускорение в теории относительности[править | править вики-текст]

В теории относительности движение тела с переменной скоростью вдоль мировой линии в 4-мерном пространстве-времени характеризуется определённой величиной, аналогичной ускорению. В отличие от обычного (трёхмерного) вектора ускорения, 4-вектор ускорения (называемый 4-ускорением) ai является второй производной от 4-вектора координат xi не по времени, а по пространственно-временному интервалу τ (или, что то же самое, по собственному времени) вдоль мировой линии тела:

 a^i = \frac {d^2 x^i}{d\tau^2} = \frac{du^i}{d\tau} .

В любой точке мировой линии 4-вектор ускорения всегда ортогонален к 4-скорости:

 u_i a^i = 0 \, .

Это означает, в частности, что 4-скорости меняются не по модулю, а лишь по направлению: независимо от направления в пространстве-времени 4-скорость любого тела равна по модулю скорости света. Геометрически, 4-ускорение совпадает с кривизной мировой линии и является аналогом нормального ускорения в классической кинематике.

В классической механике значение ускорения не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, то есть ускорение инваривантно относительно преобразований Галилея. В релятивистской механике 4-ускорение является 4-вектором, то есть при преобразованиях Лоренца изменяется аналогично пространственно-временным координатам.

Трёхмерный вектор ускорения (3-ускорение) \vec{w} также может быть рассмотрен в рамках релятивистской кинематики, хотя и не является инвариантом преобразований Лоренца. Он определяется как производная 3-скорости \vec{v} по координатному времени: \vec{w}=d\vec{v}/dt. В мгновенной сопутствующей инерциальной системе отсчёта 4-ускорение a=(0, \vec{w}). Особенностью движения в теории относительности является то, что скорость тела никогда не может превысить значение скорости света. Даже в случае, если на тело действует постоянная сила, его 3-ускорение уменьшается с ростом скорости и стремится к нулю при приближении к скорости света. Однако 4-ускорение при этом остаётся постоянным (случай релятивистски равноускоренного движения).

Динамика точки[править | править вики-текст]

Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчёта. В этих системах отсчёта равномерное прямолинейное движение имеет место в том случае, когда тело (материальная точка) не подвергается никаким внешним воздействиям в процессе своего движения. На основе этого закона возникает ключевое для механики понятие силы как такого внешнего воздействия на тело, которое выводит его из состояния покоя или влияет на скорость его движения. Таким образом, постулируется, что причиной возникновения ненулевого ускорения в инерциальной системе отсчёта всегда является некоторое внешнее силовое воздействие[4].

Второй закон Ньютона утверждает, что ускорение материальной точки всегда пропорционально приложенной к ней и порождающей ускорение силе, причём коэффициент пропорциональности всегда один и тот же независимо от вида силового воздействия (он называется инертной массой материальной точки):

m \vec a = \vec F.

Если в любой момент известна масса материальной точки и сила, действующая на неё, то из второго закона Ньютона известно и её ускорение: \vec a = \vec F /m. Это означает, что можно получить скорость и координаты точки в любой момент времени, проинтегрировав ускорение по формулам, приведённым выше в разделе Кинематика точки (если известны также начальные скорость и координаты).

Единицы измерения ускорения[править | править вики-текст]

  • метр на секунду в квадрате (метр в секунду за секунду), м/с², производная единица системы СИ;
  • сантиметр на секунду в квадрате (сантиметр в секунду за секунду), см/с², производная единица системы СГС, имеет также собственное наименование гал, или галилео;
  • g (произносится «же»), стандартное ускорение свободного падения на поверхности Земли, равное по определению 9,80665 м/с². В технических расчётах, не требующих точности выше 2 %, часто используется приближение g ≈ 10 м/с².
Преобразования между различными единицами ускорения
м/с2 фут/с2 g см/с2
1 м/с2 = 1 3,28084 0,101972 100
1 фут2 = 0,304800 1 0,0310810 30,4800
1 g = 9,80665 32,1740 1 980,665
1 см/с2 = 0,01 0,0328084 0,00101972 1

Измерение ускорения[править | править вики-текст]

Приборы для измерения ускорения называются акселерометрами. Они не измеряют ускорение непосредственно, а измеряют силу реакции (укр.)русск. опоры, которая возникает при ускоренном движении. Поскольку аналогичные силы сопротивления возникают также и в поле тяготения, то с помощью акселерометров можно измерять также и гравитацию.

Акселерографы — приборы, измеряющие и автоматически записывающие (в виде графиков) значения ускорения поступательного и вращательного движения.

Примеры ускорений[править | править вики-текст]

Значения ускорений различных движений:[5]

Вид движения Ускорение, м/с2
Центростремительное ускорение Солнечной системы при орбитальном движении в Галактике 2,2·10−10
Центростремительное ускорение Земли при орбитальном движении вокруг Солнца 0,0060
Центростремительное ускорение Луны при орбитальном движении вокруг Земли 0,0027
Пассажирский лифт 0,9—1,6
Поезд метро 1
Автомобиль «Жигули» 1,5
Бегун на коротких дистанциях 1,5
Велосипедист 1,7
Конькобежец 1,9
Мотоцикл 3—6
Аварийное торможение автомобиля 4—6
Усэйн Болт, максимальное ускорение 8[6]
Гоночный автомобиль 8—9
Торможение при открытии парашюта 30 (3 g)
Запуск и торможение космического корабля 40—60 (4—6 g)
Манёвр реактивного самолёта до 100 (до 10 g)
Свая после удара копром 300 (30 g)
Поршень двигателя внутреннего сгорания 3×103
Пуля в стволе винтовки 2,5×105
Микрочастицы в ускорителе (2—50)×1014
Электроны между катодом и анодом трубки цветного телевизора (20 кВ, 0,5 м) ≈7×1015
Электроны при соударении с люминофором трубки цветного телевизора (20 кВ) ≈1022
Альфа-частицы в атомном ядре ≈1027

Примечание: здесь g ≈ 10 м/с2.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: ЧеРо, 1999. — С. 59. — 572 с.
  2. Обзор результатов Ривальса: Appendice au Mémoire de M. Bresse // Journal de l'École polytechnique. — 1853. — Т. 20. — С. 109–115.
  3. Joulin L. Notice biographique sur M. le commandant Rivals // Mémoires de l'Académie royale des sciences, inscriptions et belles-lettres de Toulouse. — 1891. — В. 9. — Т. 3. — С. 535-539.
  4. Для того, чтобы использовать уравнение движения в форме, совпадающей с формой уравнения второго закона Ньютона, применительно к ускорениям, возникающим в неинерциальных системах отсчёта даже в отсутствие каких-либо воздействий на тело, вводят фиктивные силы инерции. Например, пусть тело массой m покоится в инерциальной системе отсчёта на некотором расстоянии R от оси. Если привести систему отсчёта во вращение с угловой скоростью ω вокруг этой оси, то система становится неинерциальной, а тело будет совершать видимое вращательное движение с линейной скоростью vR по окружности вокруг оси. Для его описания во вращающейся системе отсчёта необходимо ввести центростремительное ускорение, которое можно формально считать результатом действия одной из сил инерции — силы Кориолиса, равной по модулю 2mvω и направленной к оси, перпендикулярно оси и скорости тела; при этом она наполовину компенсируется действием другой силы инерции — центробежной силы, равной по модулю mvω и направленной от оси вращения.
  5. Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. — 10-е, испр. и доп.. — М.: Наука, 1988. — С. 61. — 256 с. — ISBN 5-02-013833-9.
  6. График зависимости ускорения У. Болта от времени — забег на 100 м на летних Олимпийских играх 2008 года в Пекине

Ссылки[править | править вики-текст]