Ускорение

Ускорение
$\vec a = {d\vec v \over dt}$
Размерность	LT−2
Единицы измерения
СИ	м/с²
СГС	см/с²

Ускоре́ние (обычно обозначается $\vec a$, в теоретической механике $\vec w$) — производная скорости по времени, векторная величина, показывающая, насколько изменяется вектор скорости точки (тела) при её движении за единицу времени (т.е. ускорение учитывает не только изменение величины скорости, но и её направления).

Например, вблизи Земли падающее на Землю тело, в случае, когда можно пренебречь сопротивлением воздуха, увеличивает свою скорость примерно на 9,8 м/с каждую секунду, то есть, его ускорение равно 9,8 м/с².

Единицей ускорения служит метр в секунду за секунду (m/s², м/с²), существует также внесистемная единица Гал (Gal), применяемая в гравиметрии и равная 1 см/с².

Производная ускорения по времени, т.е. величина, характеризующая скорость изменения ускорения, называется рывок.

Кинематика точки

Вектор ускорения материальной точки в любой момент времени находится путём дифференцирования вектора скорости материальной точки по времени:

$\vec a = {d\vec v \over dt} = {d^2\vec r \over dt^2}$.

Ускорение точки при прямолинейном движении

Если вектор $\vec a$ не меняется со временем, движение называют равноускоренным. При равноускоренном движении справедливы формулы:

$\vec v(t) = \vec v_0 + (t - t_0)\vec a$

$\vec r(t) = \vec r_0 + (t-t_0)\vec v_0 + {(t-t_0)^2\over 2}\vec a$.

Частным случаем равноускоренного движения является случай, когда ускорение равно нулю в течение всего времени движения. В этом случае скорость постоянна, а движение происходит по прямолинейной траектории (если скорость тоже равна нулю, то тело покоится), поэтому такое движение называют прямолинейным и равномерным.

Равноускоренное движение точки всегда является плоским, а твёрдого тела — плоскопараллельным (поступательным). (Обратное, вообще говоря, не верно).

Ускорение точки при движении по окружности

Вектор ускорения

$\mathbf a = \frac{d \mathbf v}{dt}$

при движении точки по окружности можно разложить на два слагаемых (компоненты):

$\mathbf a = \mathbf a_\tau + \mathbf a_n\$

Тангенциальное ускорение — $\mathbf a_\tau$ направлено по касательной к траектории (обозначается иногда $\mathbf w_\tau, \mathbf u_\tau$ и т.д., в зависимости от того, какой буквой в данной книге принято обозначать ускорение). Является составляющей вектора ускорения a. Характеризует изменение скорости по модулю.

$a_\tau = \frac{d |\mathbf v|}{dt}$

Центростремительное или Нормальное ускорение $\mathbf a_n$ — возникает (не равно нулю) всегда при движении точки по окружности (конечного радиуса) (также обозначается иногда $\mathbf w_\tau, \mathbf u_\tau$ и т. д.). Является составляющей вектора ускорения a, перпендикулярной вектору мгновенной скорости. Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру окружности, а модуль равен:

$|\vec a| = \omega ^2 r = {v^2 \over r}$

Угловое ускорение — показывает, на сколько изменилась угловая скорость за единицу времени, и, по аналогии с линейным ускорением, равно:

$\vec \varepsilon = {d\vec \omega \over dt}$

Направление вектора здесь показывает, увеличивается или уменьшается модуль скорости. Если векторы углового ускорения и скорости сонаправлены, значение скорости растёт, и наоборот.

Ускорение точки при движении по кривой

Разложение ускорения по сопутствующему базису для движения в плоскости

Вектор ускорения $\vec a$ можно разложить по сопутствующему базису $\left\{\vec \tau, \vec{n}, \vec{b}\right\}$:

$\vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} + {a}_b {\vec b} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau} + \frac{v^2}{R} {\vec n} + {a}_b {\vec b}$,

где

• $v\$ — величина скорости,
• ${\vec \tau}$ — единичный касательный к траектории вектор, направленный вдоль скорости (касательный орт),
• ${\vec n}$ — орт главной нормали к траектории, который можно определить как единичный вектор в направлении $d \vec \tau / d l$,
• ${\vec b}$ — орт бинормали к траектории,
• $R$ — радиус кривизны траектории.

${a}_b{\vec b}$, называемое бинормальным ускорением, всегда равно нулю. Это можно считать прямым следствием определения векторов $\vec n, \vec b$: можно сказать, что они выбираются именно так, чтобы первый всегда совпадал с нормальным ускорением, второй же ортогонально первому.

Векторы ${a}_\tau{\vec \tau}$ и ${a}_n{\vec n}$ называются касательным (тангенциальным) и нормальным ускорениями соответственно.

Итак, учитывая сказанное выше, вектор ускорения всегда можно записать как:

$\vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau} + \frac{v^2}{R} {\vec n}$,

Ускорения в твёрдом теле

Связь ускорений двух точек можно получить, продифференцировав формулу Эйлера для скоростей по времени:

$\vec{w}_B = \vec{w}_A + \left[\vec{\omega}, \left[ \vec{\omega}, \vec{AB}\right] \right] + \left[ \varepsilon, \vec{AB} \right]$,

где $\vec{\omega}$ — вектор угловой скорости тела, а $\vec{\varepsilon}$ — вектор углового ускорения тела.

Второе слагаемое называется осестремительным ускорением.

Ускорение при сложном движении

Абсолютное ускорение равно сумме относительного, переносного и кориолисова:

$\vec a_a=\vec {a}_r + \vec {a}_e + 2\left[\vec \omega \times \vec {v}_r \right]$.

Динамика точки

Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчёта. В этих системах отсчёта равномерное прямолинейное движение имеет место в том случае, когда тело (материальная точка) не подвергается никаким внешним воздействиям в процессе своего движения. На основе этого закона возникает ключевое для механики понятие силы как такого внешнего воздействия на тело, которое выводит его из состояния покоя или влияет на скорость его движения. Таким образом, постулируется, что причиной возникновения ненулевого ускорения в инерциальной системе отсчёта всегда является некоторое внешнее силовое воздействие.

Второй закон Ньютона утверждает, что приложенная (к точке) сила и порождаемое ей ускорение точки всегда пропорциональны, причём коэффициент пропорциональности всегда один и тот же независимо от вида силового воздействия (он называется массой материальной точки):

$\vec F = m\vec a.$

Единицы измерения ускорения

• метр на секунду в квадрате (метр в секунду за секунду), м/с², производная единица системы СИ
• сантиметр на секунду в квадрате (сантиметр в секунду за секунду), см/с², производная единица системы СГС

См. также

• Ускорение свободного падения
• Релятивистски равноускоренное движение