Условия Коши — Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Условия Коши — Римана, или условия Д’Аламбера — Эйлера — условия на вещественную u = u(x,y) и мнимую v = v(x,y) части функции комплексного переменного , обеспечивающие бесконечную непрерывную дифференцируемость f(z) как функции комплексного переменного.

[править] Теорема

Для того чтобы функция w = f(z), определенная в некоторой области D комплексной плоскости, была дифференцируема в точке z₀ = x₀ + iy₀ как функция комплексного переменного z, необходимо и достаточно, чтобы ее вещественная и мнимая части u и v были дифференцируемы в точке (x₀,y₀) как функции вещественных переменных x и y и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

;

;

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная f'(z) представима в любой из следующих форм:

[править] Следствия

• Выполнение условий Коши — Римана, на открытом подмножестве является необходимыми условиями аналитичности функции.
  • Если же, кроме того, частные производные непрерывны, функция является аналитической.

[править] История

Эти условия впервые появились в работе Д'Аламбера (1752). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций. Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851.