Условия Коши — Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную \,u=u(x,y) и мнимую \,v=v(x,y) части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного \,w=f(z)=u+iv,\  z=x+iy.

Формулировка[править | править вики-текст]

В декартовых координатах[править | править вики-текст]

Для того чтобы функция \,w=f(z), определённая в некоторой области \,D комплексной плоскости, была дифференцируема в точке \,z_0=x_0+iy_0 как функция комплексного переменного \,z, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части \,u и \,v были дифференцируемы в точке \,(x_0,y_0) как функции вещественных переменных \,x и \,y и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ;
\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x} .

Компактная запись:

\frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y} = 0 .

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная \,f'(z) представима в любой из следующих форм:

\,f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} - i \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial y}+i \frac{\partial v}{\partial x}.

Доказательство[править | править вики-текст]

1. Необходимость[править | править вики-текст]

По условию теоремы существует предел

\,f'(z_0) = \lim\limits_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z},

не зависящий от способа стремления \Delta z к нулю. Положим \Delta z = \Delta x и рассмотрим выражение

\,f'(z_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{u(x_0+\Delta x, y_0)-u(x_0, y_0)}{\Delta x} + i \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{v(x_0+\Delta x, y_0)-v(x_0, y_0)}{\Delta x}.

Из существования предела комплексного выражения следует существование действительной и мнимой его частей.[источник не указан 245 дней] Поэтому в точке x_0, y_0 существуют частные производные по x функций u(x,y) и v(x,y) и имеет место формула

\,f'(z_0) = u_x(x_0, y_0)+iv_x(x_0, y_0)

Полагая \Delta z = i \Delta y, находим

\,f'(z_0) =  \lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{u(x_0, y_0+\Delta y)-u(x_0, y_0)}{i \Delta y} + i \lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{v(x_0, y_0+\Delta y)-v(x_0, y_0)}{i \Delta y} = -iu_y(x_0, y_0)+v_y(x_0, y_0).

Сравнивая две последние формулы, убеждаемся в справедливости условий Коши-Римана.

2. Достаточность[править | править вики-текст]

По определению дифференцируемости, приращения функций \,u(x,y) и \,v(x,y) в окрестности точки (x_0, y_0) могут быть записаны в виде

\,u(x_0+\Delta x, y_0 + \Delta y)-u(x_0, y_0)= u_x(x_0,y_0)\Delta x + u_y(x_0,y_0)\Delta y +\xi(x,y),
\,v(x_0+\Delta x, y_0 + \Delta y)-v(x_0, y_0)= v_x(x_0,y_0)\Delta x + v_y(x_0,y_0)\Delta y +\eta(x,y),

где функции \xi(x,y) и \eta(x,y) стремятся к нулю при x \rightarrow x_0, y \rightarrow y_0 быстрее, чем \Delta x и \Delta y\qquad (\lim\limits_{|\Delta z| \to 0} \frac{\xi(x,y)}{|\Delta z|}=0, \lim\limits_{|\Delta z| \to 0} \frac{\eta(x,y)}{|\Delta z|}=0, |\Delta z|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}). Составим теперь разностное соотношение \, \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}, где \, \Delta z = \Delta x + i \Delta y и преобразуем его к виду

\, \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} = u_x(x_0, y_0)\frac{\Delta x + i \Delta y}{\Delta x + i \Delta y} + v_x(x_0, y_0)\frac{i \Delta x - \Delta y}{\Delta x + i \Delta y} + \frac{\xi(x,y)+i\eta(x,y)}{\Delta x + i \Delta y} = u_x(x_0, y_0) + iv_x(x_0, y_0)+\frac{\zeta(z)}{\Delta z}
\, (\zeta(z) = \xi(x,y)+i\eta(x,y)).

Заметим, что при стремлении \, \Delta z к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первые остаются неизменными. Поэтому существует предел \,\lim\limits_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} = f'(z_0), что и доказывает дифференцируемость функции \,f(z) в точке \,z_0.

В полярных координатах[править | править вики-текст]

В полярной системе координат (r, \varphi) условия Коши-Римана выглядят так:

\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \varphi};\quad \frac{\partial u}{\partial \varphi} = -r \frac{\partial v}{\partial r}.

Компактная запись:

\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{i}{r}\frac{\partial f}{\partial \varphi} = 0 .

Связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции[править | править вики-текст]

Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:

\,f(z) = R(x, y) e^{i \Phi (x, y)}

Тогда условия Коши-Римана связывают модуль \,R и аргумент \,\Phi функции следующим образом:

\frac{\partial R}{\partial x} = R \frac{\partial \Phi}{\partial y};\quad\frac{\partial R}{\partial y} = - R \frac{\partial \Phi}{\partial x}

Геометрический смысл условий Коши-Римана[править | править вики-текст]

Пусть функция w=f(z)=u(x, y)+iv(x, y),\  z=x+iy дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости (x, y) два семейства кривых (линии уровня).

Первое семейство: u(x, y)=const.
Второе семейство: v(x, y)=const.

Тогда условия Коши-Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.

Алгебраический смысл условий Коши-Римана[править | править вики-текст]

Если рассматривать множество комплексных чисел \mathbb{C} как векторное пространство над \mathbb{R}, то значение производной функции f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C} в точке является линейным отображением из 2-мерного векторного пространства \mathbb{C} в себя (\mathbb{R}-линейность). Если же рассматривать \mathbb{C} как одномерное векторное пространство над \mathbb{C}, то и производная в точке будет линейным отображением одномерного векторного пространства \mathbb{C} в себя (\mathbb{C}-линейность), которое в координатах представляет собой умножение на комплексное число f'(z). Очевидно, всякое \mathbb{C}-линейное отображение \mathbb{R}-линейно. Так как поле (одномерное векторное пространство) \mathbb{C} изоморфно полю вещественных матриц вида \begin{pmatrix} a & b\\-b & a \end{pmatrix} с обычными матричными операциями, условия Коши-Римана, накладываемые на элементы матрицы Якоби отображения f в точке z (точнее, отображения \tilde{f}: (x, y)\mapsto (u(x, y), v(x, y)) в точке (x, y)), являются условиями \mathbb{C}-линейности f'(z), т.е. \tilde{f}'(x, y).

История[править | править вики-текст]

Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций.

Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 году. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 году.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.
  • Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971. — 392 с.