Условия излучения Зоммерфельда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Гельмгольца[1]:

 \Delta U + k^2 U = f

- имеет не единственное решение в классе (обобщённых) функций, обращающихся в нуль на бесконечности, то чтобы выделить класс единственности решения (из соображений удобства выбрать конкретное решение) в неограниченных областях, необходимо потребовать дополнительных ограничений решения на бесконечности. Этими ограничениями и явились условия излучения Зоммерфельда:

 u(x)=O\left(\frac{1}{|x|}\right),\quad \frac{\partial u(x)}{\partial |x|}-iku(x)=o\left(\frac{1}{|x|}\right),\quad|x|\to\infty\qquad\left(1\right)

или

 u(x)=O\left(\frac{1}{|x|}\right),\quad\frac{\partial u(x)}{\partial |x|}+iku(x)=o\left(\frac{1}{|x|}\right),\quad|x|\to\infty\qquad\left(\overline{1}\right).

Условия излучения \left(1\right) отвечают уходящим на бесконечность волнам, а условия \left(\overline{1}\right) волнам приходящим из бесконечности. Для гармонических функций \left(k=0\right) условия излучения вытекают из единственного требования: u\left(\infty\right)=0. Также можно показать, что при k>0 всякое решение однородного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющее второму из условий \left(1\right) или \left(\overline{1}\right), удовлетворяет и первому условию: u(x)=O\left(\frac{1}{|x|}\right)

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Владимиров В.С. "Уравнения математической физики", М., "Наука", 1981, с.438-439


Литература[править | править вики-текст]