Условное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.

Определения[править | править исходный текст]

Будем предполагать, что задано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}).

Дискретные случайные величины[править | править исходный текст]

Пусть X: \Omega \to \mathbb{R}^m и Y:\Omega \to \mathbb{R}^n — случайные величины, такие, что случайный вектор (X,Y)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^{m+n} имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности p_{X,Y}(x,y),\; x\in \mathbb{R}^m,y\in \mathbb{R}^n. Пусть y_0 \in \mathbb{R}^n такой, что \mathbb{P}(Y = y_0) > 0. Тогда функция

p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = \mathbb{P}(X = x \mid Y = y_0) = { p_{X,Y}(x,y_0) \over p_Y(y_0)}, \; x \in \mathbb{R}^m,

где p_{Y} — функция вероятности случайной величины Y, называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины X при условии, что Y = y_0. Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.

Абсолютно непрерывные случайные величины[править | править исходный текст]

Пусть X: \Omega \to \mathbb{R}^m и Y:\Omega \to \mathbb{R}^n — случайные величины, такие что случайный вектор (X,Y)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^{m+n} имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности f_{X,Y}(x,y),\; x\in \mathbb{R}^m, y \in \mathbb{R}^n. Пусть y_0 \in \mathbb{R}^n таково, что f_Y(y_0) > 0, где f_Y — плотность случайной величины Y. Тогда функция

f_{X \mid Y}(x \mid y_0) = \frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)}

называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины X при условии, что Y = y_0. Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

Свойства условных распределений[править | править исходный текст]

  • Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,
  • p_{X\mid Y}(x\mid y_0) \ge 0,\; \forall x \in \mathbb{R}^m,\, y_0\in \mathbb{R}^n,
  • \sum\limits_x p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = 1,\; \forall y_0\in \mathbb{R}^n,

и

  • p_X(x) = \sum\limits_{y} p_{X\mid Y}(x \mid y)\, p_Y(y),
  • f_X(x) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f_{X \mid Y}(x\mid y)\, f_Y(y)\, dy.
  • Если случайные величины X и Y независимы, то условное распределение равно безусловному:
p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = p_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}^m

или

f_{X\mid Y}( x\mid y_0 ) = f_X(x) почти всюду на \mathbb{R}^m.

Условные вероятности[править | править исходный текст]

Дискретные случайные величины[править | править исходный текст]

Если A — счётное подмножество \mathbb{R}^m, то

\mathbb{P}(X \in A \mid Y = y_0) = \sum\limits_{x \in A} p_{X \mid Y}(x \mid y_0).

Абсолютно непрерывные случайные величины[править | править исходный текст]

Если A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^m) — борелевское подмножество \mathbb{R}^m, то полагаем по определению

\mathbb{P}(X\in A \mid Y = y_0) = \int\limits_A f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx.

Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как \mathbb{P}(Y = y_0) = 0.

Условные математические ожидания[править | править исходный текст]

Дискретные случайные величины[править | править исходный текст]

\mathbb{E}[X \mid Y = y_0 ] = \sum\limits_{x} x\, p_{X \mid Y}(x \mid y_0).
  • Условное математическое ожидание X при условии случайной величины Y — это третья случайная величина \mathbb{E}[X \mid Y], задаваемая равенством
\mathbb{E}[X \mid Y](\omega) = \mathbb{E}[X \mid Y = Y(\omega)],\; \omega \in \Omega.

Абсолютно непрерывные случайные величины[править | править исходный текст]

  • Условное математическое ожидание случайной величины X при условии Y = y_0 получается интегрированием относительно условного распределения:
\mathbb{E}[X \mid Y = y_0 ] = \int\limits_{\mathbb{R}^m} x\, f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx.
  • Условное математическое ожидание X при условии случайной величины Y — это третья случайная величина \mathbb{E}[X \mid Y], задаваемая равенством
\mathbb{E}[X \mid Y](\omega) = \mathbb{E}[X \mid Y = Y(\omega)],\; \omega \in \Omega.