Устойчивое распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Усто́йчивое распределе́ние в теории вероятностей - это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.

Определение[править | править исходный текст]

Распределение \mathbb{P}^X случайной величины X называется устойчивым, если для любого n\in \mathbb{N} существуют такие константы a_n,b_n \in \mathbb{R}, что распределение случайной величины a_nX+b_n совпадает с распределением суммы:

a_n X + b_n =^{\!\!\!\!\! \mathcal{D}} \sum\limits_{i=1}^n Y_{n,i},

где равенство понимается в смысле равенства распределений, а случайные величины Y_{n,i} распределены как X, то есть Y_{n,i} \sim \mathbb{P}^X,\; i=,\ldots,n.

Замечания[править | править исходный текст]

F_X\left(\frac{x-b_n}{a_n}\right) = F_X * \cdots * F(x),\quad \forall x \in \mathbb{R},

где * обозначает свёртку.

\phi_X^n(t) = \phi_X(a_n t) \, e^{ib_n t}.

Свойства устойчивых распределений[править | править исходный текст]

  • Случайная величина имеет устойчивое распределение тогда и только тогда, когда она является пределом по распределению линейных комбинаций сумм независимых одинаково распределённых случайных величин. Более точно, случайная величина X может быть пределом по распределению случайных величин вида \frac{S_n - b_n}{a_n}, где
S_n = \sum\limits_{i=1}^n Y_i,\; \{Y_i\}_{i=1}^{\infty} - независимые одинаково распределённые случайные величины,

тогда и только тогда, когда распределение X устойчиво.

  • (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:
\ln \phi(t) = \left\{
\begin{matrix}
it \beta - d |t|^{\alpha} \left(1 + i\theta \frac{t}{|t|} G(t,\alpha)\right), & t \not= 0 \\
0, & t = 0.
\end{matrix}
\right.,

где 0 < \alpha \le 2,\; \beta \in \mathbb{R},\; d \ge 0,\; |\theta| \le 1, и


G(t,\alpha) = \left\{
\begin{matrix}
\mathrm{tg} \frac{\pi}{2} \alpha, & \alpha \not= 1 \\
\frac{2}{\pi} \ln |t|, & \alpha = 1
\end{matrix}
\right..

См. также[править | править исходный текст]

Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула