Устойчивость (динамические системы)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений с условиями близкими к начальным «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в особой точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путем замены неизвестной функции.

Постановка задачи устойчивости динамических систем[править | править вики-текст]

Пусть \Omega — область пространства \mathbb{R}^n, содержащая начало координат, ~I = [\tau; \infty), где ~\tau \in \mathbb{R}^1. Рассмотрим систему (1) вида:

	\left\{
	\begin{matrix}
		\dot x = f(t, x), x \in \mathbb{R}^n, f: I \times \Omega \to \mathbb{R}^n\\
		f(t, 0) = 0.
\end{matrix}
	\right.
((1))

При любых ~(t_0, x_0) \in I \times \Omega существует единственное решение x(t, t0, x0) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям x(t0, t0, x0) = x0. Будем предполагать, что решение x(t, t0, x0) определено на интервале ~J^+ = [t_0; \infty), причём ~J^+ \subset I.

Устойчивость по Ляпунову[править | править вики-текст]

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых t_0 \in I и \varepsilon > 0 существует \delta > 0, зависящее только от ε и t0 и не зависящее от t, такое, что для всякого x0, для которого \|x_0\| < \delta, решение x системы с начальными условиями x(t0) = x0 продолжается на всю полуось t > t0 и удовлетворяет неравенству \|x(t)\| < \varepsilon.

Символически это записывается так:

(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)

Равномерная устойчивость по Ляпунову[править | править вики-текст]

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ из предыдущего определения зависит только от ε:

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)

Неустойчивость по Ляпунову[править | править вики-текст]

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если:

(\exists \varepsilon > 0)(\exists t_0 \in I)(\forall \delta > 0)(\exists x_0 \in B_\delta)(\exists t_* \ge t_0, t_* \in J^+) \Rightarrow (\|x(t_*, t_0, x_0)\| \ge \varepsilon)

Асимптотическая устойчивость[править | править вики-текст]

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие \lim_{t \to \infty} \|x(t_*, t_0, x_0)\| = 0 для всякого x с начальным условием x0, лежащим в достаточно малой окрестности нуля.

Эквиасимптотическая устойчивость[править | править вики-текст]

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется эквиасимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее.

Равномерная асимптотическая устойчивость[править | править вики-текст]

Тривиальное решение системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее.

Асимптотическая устойчивость в целом[править | править вики-текст]

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее.

Равномерная асимптотическая устойчивость в целом[править | править вики-текст]

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно- и глобальнопритягивающее.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — ИЛ, 1954.
  • Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Гостехиздат, 1955.
  • Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.
  • Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966.
  • Демидович Б. П. Глава II, §1, Основные понятия теории устойчивости // Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
  • Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Глава I, Непрерывные и дискретные детерминированные системы // Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X.
  • Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: РХД, 2000. — 176 с.