Краткое описание

ОписаниеKleinBottle-Figure8-01.png	Figure-eight immersion of a Klein bottle into R3. Made with Mathematica. English: The "figure 8" immersion of the Klein bottle. Italiano: L'immersione a "figura 8" della bottiglia di Klein. Русский: Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки
Дата	05/08/06
Источник	Own drawing, Mathematica 5.1
Автор	Fropuff, Inductiveload
Права (Повторное использование этого файла)	The original image was released into the public domain by Fropuff: Public domainPublic domainfalsefalse Автор этого произведения, Fropuff, передаёт его в общественное достояние. Это разрешение действует по всему миру. В некоторых странах это не может быть возможно юридически, в таком случае: Fropuff предоставляет любому право использовать данное произведение в любых целях, без каких-либо условий, если только такие условия не требуются по закону. The derived, redrawn, edited image was released into the public domain by Inductiveload: Public domainPublic domainfalsefalse Автор этого произведения, Inductiveload, передаёт его в общественное достояние. Это разрешение действует по всему миру. В некоторых странах это не может быть возможно юридически, в таком случае: Inductiveload предоставляет любому право использовать данное произведение в любых целях, без каких-либо условий, если только такие условия не требуются по закону.
Другие версии	For a cut-away version see Image:KleinBottle-Figure8-02.png.

Существует векторная версия этого изображения. Её следует использовать, если качество её не хуже, чем эта растровая версия. File:KleinBottle-Figure8-01.png → File:KleinBottle-Figure8-01.svg Подробнее о векторной графике в статье «Перевод изображений в формат SVG». Также доступна информация о поддержке формата SVG в MediaWiki. На других языках Alemannisch ∙ Bahasa Indonesia ∙ Bahasa Melayu ∙ British English ∙ català ∙ čeština ∙ dansk ∙ Deutsch ∙ eesti ∙ English ∙ español ∙ Esperanto ∙ euskara ∙ français ∙ Frysk ∙ galego ∙ hrvatski ∙ Ido ∙ italiano ∙ lietuvių ∙ magyar ∙ Nederlands ∙ norsk bokmål ∙ norsk nynorsk ∙ occitan ∙ Plattdüütsch ∙ polski ∙ português ∙ português do Brasil ∙ română ∙ Scots ∙ sicilianu ∙ slovenčina ∙ slovenščina ∙ suomi ∙ svenska ∙ Tiếng Việt ∙ Türkçe ∙ vèneto ∙ Ελληνικά ∙ беларуская (тарашкевіца) ∙ български ∙ македонски ∙ нохчийн ∙ русский ∙ српски / srpski ∙ татарча/tatarça ∙ українська ∙ ქართული ∙ հայերեն ∙ বাংলা ∙ தமிழ் ∙ മലയാളം ∙ ไทย ∙ 한국어 ∙ 日本語 ∙ 简体中文 ∙ 繁體中文 ∙ עברית ∙ العربية ∙ فارسی ∙ +/−

 

Parameterization

This immersion of the Klein bottle into R³ is given by the following parameterization. Here the parameters u and v run from 0 to 2π and r is some fixed positive constant.

${\displaystyle x=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u}$

${\displaystyle y=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u}$

${\displaystyle z=\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v}$

Mathematica source

Klein8[r_:2] =
 Function[{u, v},
   {
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Cos[u],
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Sin[u],
       Sin[u/2]Sin[v] + Cos[u/2]Sin[2v]
   }
 ]

 ParametricPlot3D[Evaluate[Klein8[][u, v]], {u, 0, 2Pi}, {v, 0, 2Pi},
   PlotPoints -> 60, Boxed -> False, Axes -> False, ImageSize -> 800]

This image was then antialised with Chris Hill's code, made transparent around the surface and had stray pixels removed in an image editor.