Факториальное кольцо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Факториа́льное кольцо́ — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p1  ⋯ pn (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.

Факториальные кольца можно изобразить на следующей цепочке включений:

Коммутативные кольцацелостные кольцафакториальные кольцаобласти главных идеаловевклидовы кольцаполя

Определение[править | править вики-текст]

Более формально, фаториальное кольцо определяется как область целостности R, в которой каждый ненулевой элемент x можно записать в виде произведения (пустого произведения, если x обратим) неприводимых элементов pi и обратимого элемента u:

x = up1p2 ⋯ pn

и это разложение единственно в следующем смысле: Если q1, … , qm — неприводимые элементы R и w — обратимый элемент, такие что

x = wq1q2 ⋯ qm,

то m = n и существует биективное отображение φ : {1, … , n} → {1, … , m} такое что pi — элемент, ассоциированный с qφ(i) для i ∈ {1, … , n}.

Примеры[править | править вики-текст]

Эквивалентные формулировки[править | править вики-текст]

Пусть A — целостное кольцо. Следующие утверждения эквивалентны:

  • A факториально.
  • Каждый ненулевой простой идеал A содержит простой элемент (то есть такой элемент, что главный идеал, порожденный этим элементом, прост).
  • A — кольцо Крулля, в котором каждый дивизорный идеал главный (так определяется факториальное кольцо у Бурбаки).
  • A — кольцо Крулля и каждый простой идеал, не содержащий других ненулевых простых идеалов, главный.

Свойства факториальных колец[править | править вики-текст]

1. В факториальных кольцах корректно определены понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного любого конечного набора элементов, а также понятие взаимной простоты элементов.

2. Лемма о совместной делимости. Если элемент N факториального кольца делится на каждый из элементов a_1, a_2, … ,a_k, причём эти элементы попарно взаимно просты, тогда N делится на их произведение.

3. Если N^n = a_1a_2\dots a_k, причём элементы a_1, a_2, ... ,a_k попарно взаимно просты, тогда каждое из них имеет вид a_i = u_i b_i^n, где u_i — обратимые элементы кольца.

4. Любую дробь a/b, составленную из элементов факториального кольца, можно записать в несократимом виде, то есть существуют взаимно простые элементы p и q (однозначно определённые с точностью до ассоциирования), такие что a/b = p/q.

5. Теорема Гаусса. Если дробь a/b является корнем многочлена x^n + c_1x^{n-1} + \dots + c_n со старшим коэффициентом, равным 1 (элементы a, b, а также все коэффициенты многочлена — элементы факториального кольца R), тогда a/b лежит в R, то есть a делится на b в кольце R. (Данное свойство кольца называется целозамкнутостью).

Литература[править | править вики-текст]

  • Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М.: Мир, 1971.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
  • Ленг С. Алгебра. — Мир, 1967.