Факторкольцо

Факторкольцо́ — в общей алгебре это кольцо классов вычетов некоторого кольца $\mathrm{K}$ по модулю его идеала $\mathrm{J}$.

Обозначается $\mathrm{K}/\mathrm{J}$.

Классы вычетов по модулю идеала $\mathrm{J}$ определяются как смежные классы кольца $\mathrm{K}$ по аддитивной подгруппе $\mathrm{J}$. Класс вычетов, содержащий элемент $\mathrm{a}$ обычно обозначается $\mathrm{[a] = (a+J) = \{a+c|c\in J\}}$. Два различных элемента кольца, принадлежащие одному классу вычетов, называются равными по модулю идеала.

Операции в факторкольце (сложение и умножение) определяются равенствами:

$\mathrm{(a+J)+(b+J)=(a+b)+J}$

$\mathrm{(a+J)(b+J)=ab+J}$

Связанные теоремы

• Теорема о гомоморфизме колец:

Если $f$ — гомоморфизм кольца $\mathrm{K}$ на кольцо $\mathrm{R}$, то ядро $\ker\,f$ является идеалом кольца $\mathrm{K}$, причём кольцо $\mathrm{R}$ изоморфно факторкольцу $\mathrm{K}/\ker\,f$.

Обратно: если $\mathrm{J}$ — идеал кольца $\mathrm{K}$, то отображение $f: \mathrm{K}\to\mathrm{K/J}$, определяемое условием $f(a) = a+\mathrm{J}, \forall a \in \mathrm{K}$ является гомоморфизмом кольца $\mathrm{J}$ на $\mathrm{K/J}$ с ядром $\mathrm{J}$.

Теорема аналогична теореме о гомоморфизме групп.

• Факторкольцо $\mathbb{Z}/(p)$ кольца $\mathbb{Z}$ целых чисел по модулю главного идеала, порождённого простым числом $p$, является полем.

• Идеал $\mathrm{J}$ кольца $\mathrm{K}$ является простым (максимальным) в том и только в том случае, когда факторкольцо $\mathrm{K/J}$ является целостным кольцом (полем).

См. также

• Факторгруппа
• Факторалгебра
• Факторполе

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
• М. Атья, И. Макдональд Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля (в двух томах). — М.: Мир, 1988. — 430 с.