Факторсистема

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Факторсистема в универсальной алгебре — объект, получаемый разбиением алгебраической системы на классы смежности отношением эквивалентности, стабильным по отношению к её основным операциям, и, соответственно, являющийся также алгебраической системой. Факторалгебра — факторсистема, получаемая над алгеброй (системой без отношений), фактормодель — факторсистема над моделью (системой без операций).

Факторсистема является обобщением алгебраических факторизаций: факторгруппа, факторкольцо, факторалгебра являются факторсистемами над группой, кольцом, алгеброй над полем соответственно.

Определение[править | править вики-текст]

Для алгебраической системы \mathfrak A = \langle A, F, R\rangle, F = \langle f_1:A^{n_1} \to A, \dots f_i:A^{n_i} \to A, \dots \rangle, R= \langle r_1 \subseteq A^{m_1}, \dots r_i \subseteq A^{m_i}, \dots \rangle и бинарного отношения \sigma \subseteq A \times A, являющегося конргуэнцией над \mathfrak A, то есть, стабильного относительно каждой из основных операций f_i \in F — из вхождения в отношение некоторого набора \forall_{j\in 1\dots{n_i}}(a_j, b_j) \in \sigma следует выполнение (f(a_1, \dots a_{n_i}), f(b_1, \dots b_{n_i})) \in \sigma — факторсистема строится как алгебраическая система \mathfrak A / \sigma, с носителем A/\sigma — фактормножеством над A относительно конгруэнции \sigma, следующим набором операций:

\langle f^\star_1: (A/\sigma)^{n_1} \to A/\sigma, \dots f^\star_{n_i}: (A/\sigma)^{n_i} \to A/\sigma, \dots \rangle

и следующим набором отношений:

\langle r^\star_1 \subseteq (A/\sigma)^{m_1}, \dots r^\star_{m_i} \subseteq (A/\sigma)^{m_i}, \dots \rangle,

где ^\star означает переход к классам смежности относительно конгруэнции \sigma:

f^\star ([a_1]_\sigma, \dots [a_n]_\sigma) = [f(a_1, \dots a_n)]_\sigma для операций и
r^\star ([a_1]_\sigma, \dots [a_m]_\sigma) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\sigma, \dots b_m\in[a_m]_\sigma) r(b_1, \dots b_m) для отношений

(класс смежности [a]_\sigma — множество всех элементов, эквивалентных a относительно \sigma: \{ b \in A \mid (a,b) \in \sigma \}).

Таким образом, факторсистема \mathfrak A / \sigma является однотипной с системой \mathfrak A. В определении принципиально, что стабильность факторизующего отношения требуется только для основных операций, но не для отношений системы: для операций стабильность необходима для однозначного перехода к классам смежности, тогда как переход к классам смежности для отношений вводится определением (существованием в в каждом из классов смежности хотя бы по одному элементу, входящему в отношение).

Свойства[править | править вики-текст]

Естественное отображение \phi: A \to A/\sigma, ставящее в соответствие элементу его класс смежности относительно конгруэнции: \phi(a) = [a]_\sigma, является гомоморфизмом из \mathfrak A в факторсистему \mathfrak A/\sigma[1][2].

Теорема о гомоморфзиме утверждает что для любого гомоморфизма \phi: \mathfrak A (A, F, R) \to \mathfrak A' (A', F', R') и его ядерной конгурэнции \sigma_\phi = \{(x, y)\in A\times A'|\varphi(x)=\varphi(y) \} естественное отображение \phi^\star: \mathfrak A/\sigma_\phi \to \mathfrak A' (то есть \phi^\star([a]_\sigma) = \phi(a)) является гомоморфизмом. Если гомоморфизм \phi является сильным, то есть для каждого предиката из r'_k\in R' и любого набора элементов a'_1,\dots a'_n \in A' из утверждения (a'_1,\dots a'_n) \in r'_k вытекает существование таких прообразов a_1 \in \phi^{-1}a'_1, \dots a_n \in \phi^{-1}a'_n, что (a_1,\dots a_n) \in r_k, то \phi является изоморфизмом. Таким образом, совокупность всех факторсистем заданной системы с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью всех её сильно гомоморфных образов[3]. Для алгебр, не обладающих отношениями в сигнатуре, любой гомоморфизм является сильным, то есть набор факторалгебр заданной алгебры с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью её гомоморфных образов.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Мальцев, 1970, с. 61-62
  2. Гретцер, 2008, Lemma 2, p. 36
  3. Мальцев, 170, Теорема 1

Литература[править | править вики-текст]