Ферми-газ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фе́рми-газ (или идеальный газ Фе́рмиДира́ка) — газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака, имеющих малую массу и высокую концентрацию. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать, что потенциал, действующий на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми — Дирака.

Газ Ферми — Дирака при нулевой температуре[править | править вики-текст]

Самая низкая энергия классического газа (или газа Бозе — Эйнштейна) при T=0 равна W_0=0. То есть при нулевой температуре все частицы падают в самое низкое состояние и теряют всю свою кинетическую энергию. Однако, для газа Ферми это невозможно. Принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только одной ферми-частице с полуцелым спином.

Самую низкую энергию газа W_0 с N частиц можно получить путем размещения по одной частице в каждом из N квантовых состояний с наименьшей энергией. Поэтому энергия W_0 такого газа при T=0 будет отличной от нуля.

Величину W_0 несложно вычислить. Обозначим через \mu_0 энергию электрона в самом высоком квантовом состоянии, которое ещё заполнено при T=0. При нулевой температуре все квантовые состояния с энергией ниже \mu_0 заняты, а все квантовые состояния с энергией выше \mu_0 — свободны.

Поэтому должно существовать ровно N состояний с энергией ниже или равной \mu_0. Этого условия достаточно для нахождения \mu_0. Поскольку объём микроскопический, трансляционные состояния находятся близко один к другому в импульсном пространстве и мы можем заменить суммирование по трансляционным квантовым состояниям \mathbf{k} интегрированием по классическому фазовому пространству, предварительно разделив на h^3:

\frac{g}{h^3}\iint 4\pi p^2\,dr\,dp=V\frac{g}{h^3}\int 4\pi p^2\,dp,

где g — число внутренних квантовых состояний, которые соответствуют внутренней энергии. Число g=2, для электронов со спином 1/2. Интегрируя последнее выражение от p=0 до p_0, величины импульса самого высокого заполненного при T=0 состояния с энергией \mu_0=(2m)^{-1}p_0^2, и приравнивая результат к N, получаем с учетом того, что \rho=N/V:

N=V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi}{3}p_0^3=V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi}{3}(2m\mu_0)^{3/2},
p_0=\left(\frac{3\rho}{4\pi g}\right)^{1/3}h,
\mu_0=\frac{p_0^2}{2m}=\frac{h^2}{2m}\left(\frac{3\rho}{4\pi g}\right)^{2/3}

или для электронов с g=2:

\mu_0=\frac{h^2}{8m}\left(\frac{3\rho}{\pi}\right)^{2/3},\quad g=2.

Величину \mu_0, наивысшую энергию заполненных уровней, называют энергией Ферми.

Газ Ферми — Дирака при конечной температуре[править | править вики-текст]

Для ненулевых значений параметра \beta=1/kT плотность числа электронов N(\varepsilon) в энергетическом пространстве находим путем умножения квантовых плотностей состояний

\frac{3}{2}N/\mu_0^{-3/2}\int\varepsilon^{1/2}\,d\varepsilon

на множитель \frac{1}{1+\exp[(\beta(\varepsilon-\mu)]}, который даёт число электронов на одно квантовое состояние:

N(\varepsilon)=\frac{3}{2}N/\mu_0^{-3/2}\frac{1}{1+\exp[\beta(\varepsilon-\mu)]},

где величина \mu_0химический потенциал при T=0, а \mu — химический потенциал при данной температуре.

Если проинтегрировать эту функцию по всем значениям \varepsilon, то можно определить \mu как функцию от температуры.

Сравнивая результат, который входит в \int\limits_0^\infty N(\varepsilon)\,d\varepsilon полного числа частиц N. Отсюда видно, что для N(\varepsilon) величина \mu есть функция параметров \mu_0 и \beta.

Энергию можно найти из соотношения:

W=\int\limits_0^\infty\varepsilon N(\varepsilon)\,d\varepsilon,

откуда видно, что тут мы встречаемся с задачей нахождения интеграла типа:

I=\int\limits_0^\infty f(\varepsilon)g(\varepsilon)\,d\varepsilon,

в котором функция f(\varepsilon) есть некоторая простая и непрерывная функция от \varepsilon , например \varepsilon^{1/2} или \varepsilon^{3/2}, и

g(\varepsilon)=\frac{1}{1+\exp[\beta(\varepsilon-\mu)]}.

Следует отметить, что величина \mu_0/k имеет порядок от 5\cdot 10^4 до 10^5 К для большинства металлов.

Пропуская довольно громоздкие математические выкладки, в результате получим приблизительное значение химического потенциала:

\mu=\mu_0\left[1-\frac{\pi^2}{12}(\beta\mu_0)^{-2}-\frac{\pi^4}{80}(\beta\mu_0)^{-4}+\ldots\right],

которое выражает химический потенциал \mu через параметры \beta и \mu_0.

Тут следует отметить, что эта зависимость не очень сильная, например для комнатных температур первая добавка составляет достаточно малую величину — (\beta\mu_0)^{-2}\approx 10^{-4}. Поэтому на практике, при комнатных температурах химический потенциал практически совпадает с потенциалом ферми.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. — 2-е изд. перераб. — М.: Мир, 1980. — 544 с.

Ссылки[править | править вики-текст]