Физический маятник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Физический маятник —осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Определения[править | править исходный текст]

  • \theta\, — угол отклонения маятника от равновесия;
  • \alpha\, — начальный угол отклонения маятника;
  • m\, — масса маятника;
  • h\, — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
  • r\, — радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.
  • g\, — ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

I = m\left(r^2+h^2\right).

Дифференциальное уравнение движения физического маятника[править | править исходный текст]

Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:

I\frac{d^2\theta}{dt^2} = -mgh\sin\theta.

Полагая \frac{r^2}{h} + h = l, предыдущее уравнение можно переписать в виде:

l\frac{d^2\theta}{dt^2} = -g\sin\theta.

Последнее уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной l\,. Величина l\, называется приведённой длиной физического маятника.

Центр качания физического маятника[править | править исходный текст]

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии l\, от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром масс. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен I = ml^2\,, а момент силы тяжести относительно той же оси -mgl\sin\theta\,. Легко заметить, что уравнение движения не изменится.

Теорема Гюйгенса[править | править исходный текст]

Формулировка[править | править исходный текст]

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

Доказательство[править | править исходный текст]

Вычислим приведенную длину для нового маятника:

l_1 = \frac{r^2}{r^2/h} + \frac{r^2}{h} = h + \frac{r^2}{h} = l.

Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

Период колебаний физического маятника[править | править исходный текст]

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания.
Для этого умножим левую l\frac{d^2\theta}{dt^2} = l\frac{d}{dt}\left(\frac{d\theta}{dt}\right) и правую часть этого уравнения на d\theta\,. Тогда:

l\frac{d\theta}{dt}d\left(\frac{d\theta}{dt}\right) = -g\sin\theta\, d\theta.

Интегрируя это уравнение, получаем.

l\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 = 2g\cos\theta+C,

где C\, произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты \theta = \pm \alpha\,\,\,, \frac{d\theta}{dt} = 0. Получаем: C = -2g\cos\alpha\,. Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

\frac{d\theta}{dt} = 2\sqrt{\frac{g}{l}}\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}.

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

\sqrt{\frac{g}{l}}t = \int\limits_0^\theta{\frac{d\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}}}.

Удобно сделать замену переменной, полагая \sin\frac{\theta}{2} = \sin\frac{\alpha}{2}\sin\varphi. Тогда искомое уравнение принимает вид:

t = \sqrt\frac{l}{g}\int\limits_0^\varphi{\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\varphi}}} = \sqrt\frac{l}{g} F\left(\varphi\setminus \alpha/2\right).

Здесь  F\left(\varphi\setminus \alpha\right)нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

T = 4\sqrt\frac{l}{g}\,\int\limits_0^{\pi/2}{\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\varphi}}} = 4\sqrt\frac{l}{g}\,K\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right).

Здесь K\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right)полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Раскладывая его в ряд, можно получить удобную для практических вычислений формулу:

T = 2\pi \sqrt\frac{l}{g} \left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \sin^{4}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \sin^{2n}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots \right\}
.

Период малых колебаний физического маятника[править | править исходный текст]

Если амплитуда колебаний \alpha\, мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

T = 2\pi\sqrt\frac{l}{g} = 2\pi\sqrt\frac{I}{mgh}.

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.

Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) при углах до 1 радиана (≈60°)

T \approx 2\pi\sqrt\frac{l}{g} \left( 1 + \frac{1}{4}\sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \right).

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]