Фильтрация (случайные процессы)

Фильтра́ция в теории случайных процессов - неубывающее семейство σ-алгебр.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ и подмножество числовой прямой $T \subset \mathbb{R}$. Семейство σ-алгебр $\{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}$ такое, что

$\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t \subset \mathcal{F},\quad \forall s \le t,\; s,t \in T,$

называется фильтра́цией вероя́тностного простра́нства $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$.

Естественная фильтрация случайного процесса

Пусть дан случайный процесс $\{X_t\}_{t \in T}$, определённый на некотором вероятностном пространстве. Определим

$\mathcal{F}^X_t = \sigma\{X_s \mid s \le t, \; s\in T\},\quad t \in T.$.

Тогда семейство $\left\{\mathcal{F}^X_t\right\}_{t \in T}$ является фильтрацией и называется есте́ственной фильтрацией случайного процесса $\{X_t\}$.

См. также

• Марковский процесс
• Мартингал

Литература

• Скороход А.В. Вероятность. Прикладные аспекты, Теория вероятностей – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 43, ВИНИТИ, М., 1989, стр. 189–270
• Ширяев А.Н. Вероятность, — М.: Наука, 1989.